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Relazioni



Una relazione tra gli elementi di due insiemi è qualcosa in grado di collegarli, di metterli appunto in relazione, in modo ordinato e univoco.


Definizione di relazione



Dati due insieme A e B, entrambi non vuoti, si definisce relazione R un qualsiasi procedimento che associa ad alcuni elementi dell'insieme A uno o più elementi di B. Illustriamo il concetto di relazione con i seguenti esempi:


Esempio

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La Relazione R E' padrone di stabilisce un legame tra i cittadini italiani e i cani se i primi sono padroni dei secondi.


Relazione binaria



Dati due insiemi A e B, entrambi non vuoti, si dice che tra gli elementi di tali insieme esiste una relazione binaria R quando, presi due elementi x A e y B, è valida una delle seguenti asserzioni:


  • La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione R.

  • La coppia ordinata (x,y) non soddisfa la relazione R.


Fissiamo il concetto con due esempi:


Esempio

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Vediamo un esempio di un enunciato che non è una relazione.

  • A: insieme dei libri di fantascienza

  • B: insieme dei libri di horror


L'associazione R il libro di fantascienza a è più interessante del film horror b non è una relazione in quanto può risultare vera o falsa a seconda a seconda degli interessi delle persone.



Relazione binaria su un insieme



Una relazione binaria R può essere rappresentata usando il linguaggio degli insiemi, e in particolar modo, la loro rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn. Gli insiemi A e B vengono messi in relazione collegando con delle frecce gli elementi a A e b B che soddisfano la relazione R.

Illustriamo tale rappresentazione usando la relazione scritta prima:


Esempio

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Rappresentazione della relazione E' capoluogo di



Relazione riflessiva



Una relazione R su un insieme A è riflessiva se è vera per ogni coppia (x,x).


Esempio

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La Relazione R riflessiva formalmente è equivalente a :




Relazione simmetrica



Una relazione R su un insieme A è simmetrica quando, se è vera per ogni coppia (x,y), allora è vera anche per la coppia (y,x).


Esempio

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La Relazione R simmetrica formalmente è equivalente a :




Relazione antisimmetrica



Una relazione R su un insieme A è antisimmetrica quando, se è vera per la coppia (x,y) e (y,x), deve essere vero che x=y.


Esempio

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La Relazione R antisimmetrica formalmente è equivalente a :




Relazione transitiva



Una relazione R su un insieme A è transitiva quando, se è vera per la coppia (x,y) e (y, z), allora è vera per la coppia (x,z).


Esempio

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La Relazione R transitiva formalmente è equivalente a :




Relazione di equivalenza



Una relazione R su un insieme A è di equivalenza di se risulta essere contemporaneamente:

  • Riflessiva

  • Simmetrica

  • Transitiva


Esempio

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Relazione d'ordine



Una relazione R su un insieme A è una relazione di ordine se risulta essere:

  • Riflessiva

  • Transitiva

  • Antisimmetrica


Esempio

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Autore principale e redattore del materiale didattico: A P