Divisibilità tra polinomi fb
 

Relazione di divisibilità e teorema della divisione euclidea



La divisibilità non è altro che una relazione esistente tra due numeri, che ci dice se un numero può essere diviso per un altro.


Consideriamo due numeri interi positivi a e b. Possiamo dire che b divide a, o anche che b un divisore di a, se esiste un numero naturale k, tale che:




ovvero b è un divisore di a, se a è multiplo di b.


Esempio

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L'uguaglianza può essere scritta in modo più familiare nella seguente forma:




dove

  • il numero a è detto dividendo

  • il numero b è detto divisore

  • il numero k è detto rapporto o quoziente.


Relazione di divisibilità


La relazione di divisibilità tra due numeri interi positivi si scrive:




e si legge: b è divisore di a o a è multiplo di b.



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Multipli e divisori


Ogni numero naturale ha infiniti multipli, mentre è finito il numero dei suoi divisori.



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Proprietà della relazione di divisibilità



Riflessività



Diciamo che relazione di divisibilità è riflessiva poiché ogni numero è divisore di se stesso.


Riflessività


La proprietà della riflessività si esprime come:




ovvero



Antisimmetricità



Diciamo che la relazione di divisibilità è antisimmetrica poiché se due numeri sono l'uno divisore dell'altro, allora i due numeri sono uguali.


Antisimmetricità


Se e allora



Transitività



Diciamo che la relazione di divisibilità è transitiva perché se un numero a è divisore di b e se b è divisore di un numero c, allora a è divisore di c.


Transitività


Se e allora .



Relazione di divisibilità e insieme dei numeri interi



La definizione di divisibilità può essere estesa a tutti i numeri interi (positivi e negativi). Siano a e b due numeri interi. Si dice che b è divisore di a, se esiste un numero intero k, tale che:




Questo vale anche per il numero 0 che è divisibile per qualunque numero b diverso da zero, ovvero:




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Divisori di un numero nell'insieme dei numeri interi


Un numero intero a ha almeno 4 divisori:





Teorema della divisione euclidea



Se a e b sono due numeri naturali, sappiamo che la loro somma




e il loro prodotto




sarà ancora un numero naturale. Lo stesso non si può dire per il loro quoziente che non è necessariamente un numero naturale.


Come abbiamo visto, si verifica che il quoziente tra due numeri naturali a e b è un numero naturale, solo quando i due numeri sono in relazione di divisibilità. In tutti gli altri casi, il quoziente non è un numero naturale.


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A prescindere dal fatto che due numeri siano in relazione di divisibilità o meno, per qualunque coppia di numeri naturali , con , vale il teorema della divisione euclidea.


Teorema della divisione euclidea


Il quoziente di due numeri naturali a e b, per i quali vale che e , può essere scritto come:




dove:

  • è il dividendo

  • è il divisore

  • e il quoziente o rapporto

  • è il resto, con .



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redattore del materiale didattico: Carmine Albanese