Relazione di divisibilità e teorema della divisione euclidea

La divisibilità non è altro che una relazione esistente tra due numeri, che ci dice se un numero può essere diviso per un altro.

Consideriamo due numeri interi positivi a e b. Possiamo dire che b divide a, o anche che b un divisore di a, se esiste un numero naturale k, tale che:

ovvero b è un divisore di a, se a è multiplo di b.

L'uguaglianza può essere scritta in modo più familiare nella seguente forma:

dove

Diciamo che relazione di divisibilità è riflessiva poiché ogni numero è divisore di se stesso.

Diciamo che la relazione di divisibilità è antisimmetrica poiché se due numeri sono l'uno divisore dell'altro, allora i due numeri sono uguali.

Diciamo che la relazione di divisibilità è transitiva perché se un numero a è divisore di b e se b è divisore di un numero c, allora a è divisore di c.

La definizione di divisibilità può essere estesa a tutti i numeri interi (positivi e negativi). Siano a e b due numeri interi. Si dice che b è divisore di a, se esiste un numero intero k, tale che:

Questo vale anche per il numero 0 che è divisibile per qualunque numero b diverso da zero, ovvero:

Se a e b sono due numeri naturali, sappiamo che la loro somma

e il loro prodotto

sarà ancora un numero naturale. Lo stesso non si può dire per il loro quoziente che non è necessariamente un numero naturale.

Come abbiamo visto, si verifica che il quoziente tra due numeri naturali a e b è un numero naturale, solo quando i due numeri sono in relazione di divisibilità. In tutti gli altri casi, il quoziente non è un numero naturale.

A prescindere dal fatto che due numeri siano in relazione di divisibilità o meno, per qualunque coppia di numeri naturali , con , vale il teorema della divisione euclidea.