Il principio di induzione verifica se un'affermazione goduta (apparentemente) da alcuni numeri naturali sia una proprietà valida in realtà per tutti i numeri naturali.
Il principio di induzione è uno strumento potente di dimostrazione di un'affermazione sui numeri naturali, in quanto stabilisce la verità di una proposizione per tutti i numeri naturali senza doverla verificare effettivamente per ogni numero naturale.
Il principio di induzione è equivalente al fatto che, dato un numero naturale qualunque , i suoi precedenti sono in un numero finito, quindi posso tornare a 0 in un numero finito di passi.
Data un'affermazione A su alcuni numeri naturali, il principio di induzione consta di due fasi:
Passo base: si controlla che l'affermazione A sia verificata per 0.
Passo induttivo: la proposizione A è vera per n implica che A sia vera per n + 1.
Se tali condizioni sono soddisfatte allora l'affermazione A è vera per qualunque numero naturale.
Vediamo esempi per discernere l'applicabilità del principio di induzione.
Mostriamo un esempio in cui verifichiamo per induzione.
Prima di proseguire con altri esempi notiamo che vi sono affermazioni coinvolgenti non tutti i numeri naturali, ma che hanno significato da un certo numero naturale 
in poi e che quindi la versione che abbiamo esposto prima del principio di induzione ne è un caso particolare (
).
In più in certe dimostrazioni si utilizzano spesso affermazioni vere intermedie necessarie alla verifica del passo induttivo, quindi - anche se appare più restrittivo - è comodo assumere al passo induttivo che un' affermazione sia vera anche per tutti i naturali precedenti a quello considerato.
Il principio di induzione in questa versione è equivalente al fatto che, dato un numero naturale qualunque, i suoi precedenti fino a sono in un numero finito, quindi posso tornare a in un numero finito di passi.
Il principio di induzione consta di due fasi:
Passo base: si controlla che l'affermazione A sia verificata per .
Passo induttivo: la proposizione A è vera per tutti i naturali 
implica che A sia vera per n + 1.
Se tali condizioni sono soddisfatte allora l'affermazione A è vera per qualunque numero naturale maggiore di
Vediamo alcuni esempi.
Date due successioni 
, è possibile verificare se la seconda è la successione delle somme parziali della prima - chiamata anche ridotta n-esima - (il termine generale della seconda successione è la somma dei primi n termini della prima, ovvero 
) applicando il principio di induzione.
Passo base: verificare che 
Passo induttivo: si deve avere che 
Vediamo un esempio.
