matematica fb
 

Perpendicolarità e parallelismo nel piano



Il parallelismo e la perpendicolarità sono due relazioni tra le rette che possono essere definite sia nel piano sia nello spazio.


Nella geometria piana, possiamo facilmente dare una definizione intuitiva di questi due concetti aiutandoci con un disegno.


  • Diciamo che due rette del piano sono parallele se è verificata una delle seguenti due opzioni:

    • le due rette hanno tutti i punti in comune (le due rette sono coincidenti):

      due rette p e q coincidenti




    • le due rette non hanno alcun punto in comune:


      due rette parallele p e q distinte




    Per indicare il parallelismo tra due rette p e q scriveremo:




  • Le rette perpendicolari rappresentano un caso particolare di rette secanti, ovvero di rette che si intersecano in un solo punto: si tratta del caso in cui i quattro angoli formati dalle due rette sono tutti congruenti e quindi misurano ciascuno un quarto di angolo giro (90° se esprimiamo l'angolo in gradi, se esprimiamo la misura in radianti):


    Due rette perpendicolari p e q



    Per indicare la perpendicolarità tra due rette scriveremo:




La relazione di perpendicolarità è utilizzata per definire la distanza tra due enti geometrici e la proiezione geometrica di una figura su di un'altra:


Distanza tra un punto e una retta



La distanza tra un punto e una retta è definita come la lunghezza del percorso più breve che li congiunge. Questo percorso è dato dal segmento perpendicolare alla retta.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Disegniamo un punto T e una retta p nel piano. A partire da T, tracciamo la retta q perpendicolare a p. Chiamiamo A il punto di intersezione tra le due linee:




La distanza tra il punto T e la retta p è la lunghezza del segmento di perpendicolare che congiunge il punto T alla retta p.


Detta q la retta passante per T e perpendicolare a p, e indicando con A il punto di intersezione tra p e q, la distanza tra il punto T e la retta p è pari alla lunghezza del segmento TA.


In formule, possiamo indicare con la distanza tra il punto T e la retta p e con la lunghezza del segmento TA.


Potremo allora scrivere:





Distanza tra due rette parallele



La distanza tra due rette parallele è data dalla linea più breve che le congiunge. Essa è pari alla misura del segmento di perpendicolare che congiunge le due rette a partire da uno qualsiasi dei loro punti.


Consideriamo due rette parallele p e q.

Chiamiamo M un punto di p e tracciamo a partire da M la perpendicolare r alla retta p. La retta r risulta perpendicolare anche alla parallela q: chiamiamo N il punto di intersezione tra r e q.

Possiamo allora definire la distanza tra p e q come la distanza tra M ed N, ovvero come la lunghezza del segmento MN. Tale lunghezza è indipendente dalla scelta del punto M.




La distanza tra due rette parallele p e q è pari alla lunghezza di un qualunque segmento MN perpendicolare alle due rette, dove M ed N sono punti rispettivamente di p e q.


In formule, possiamo scrivere:




Proiezione di un punto su una retta



Abbiamo visto che la distanza tra un punto e una retta è data dal segmento di perpendicolare che congiunge il punto alla retta stessa. Con lo stesso metodo si definisce la proiezione ortogonale di un punto su una retta:




La proiezione ortogonale di un punto T sulla retta p è definita come il secondo estremo T' del segmento di perpendicolare portato da T a p.



Proiezione di un segmento su una retta



Ora che sappiamo come proiettare un punto su una retta, possiamo facilmente trovare anche la proiezione di un segmento su una retta. Sarà sufficiente costruire la proiezione dei due estremi: il segmento che congiunge le due proiezioni così ottenute sarà proprio la proiezione cercata:




La proiezione ortogonale del segmento AB sulla retta p è il segmento A'B', appartenente a p, i cui estremi sono le proiezioni A' e B' dei punti A e B sulla retta p.


redattore del materiale didattico: OpenProf.com