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Permutazioni



Se selezioniamo uno ad uno tutti gli elementi di un insieme di oggetti e li presentiamo in una determinata sequenza, il numero degli elementi n che costituiscono l'insieme coincide con il numero k degli elementi che faranno parte della sequenza. In questo caso si parla di permutazioni.


Nelle permutazioni l'ordine degli elementi è importante.



Permutazioni senza ripetizioni



Quando gli n elementi di un insieme non si ripetono e sono tutti diversi tra loro, abbiamo permutazioni senza ripetizioni. Nella prima fase di selezione abbiamo a disposizione tutti gli n elementi dell'insieme tra cui scegliere, nella seconda fase avremo a disposizione tutti gli elementi tranne quello appena scelto, ovvero n - 1 e così via finché nella penultima fase avremo solo due opzioni tra cui scegliere e nell'ultima avremo una sola opzione.


Dagli n elementi di un insieme vogliamo ottenere sequenze ordinate costituite da tutti gli n elementi. Il numero delle possibili sequenze è dato dal prodotto di tutti i numeri consecutivi da 1 a n:




che possiamo anche scrivere come:




che si legge n fattoriale. Da cui:




Esempio

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Permutazioni con ripetizioni



Se un insieme contiene elementi che si ripetono, quando ricaviamo sequenze ordinate di tutti gli n elementi dell'insieme, parliamo di permutazioni con ripetizioni.


Vogliamo ottenere delle sequenze di n elementi a partire dagli n elementi di un insieme, sapendo che un elemento è ripetuto nell'insieme volte, un secondo elemento si ripete volte, ... e l'r-esimo elemento si ripete volte.

Il numero di permutazioni uniche (non ripetute) si ottiene con la formula:




dove la somma dei numeri che rappresentano quante volte ogni elemento si ripete deve essere sempre uguale a n:




Esempio

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redattore del materiale didattico: Carmine Albanese