La parabola è il luogo geometrico dei punti con la stessa distanza da una retta d e da un punto F.
Il punto F è detto fuoco, mentre la retta d è detta direttrice
Otteniamo l'equazione che descrive una parabola.
Parabola: fuoco e direttrice
La distanza tra il punto sulla parabola e la direttrice è:
La distanza tra il punto sulla parabola e il fuoco è, usando la formula della distanza tra due punti:
Una parabola è il luogo geometrico dei punti con la stessa distanza da una retta d e da un punto F. Eguagliamo le distanze tra PF e PH e semplifichiamo:
Abbiamo ottenuto l'equazione di una parabola.
L'equazione canonica o normale della parabola è:
Vediamo come funziona l'equazione di una parabola in posizione normale. In particolare, può cambiare la concavità di una parabola al variare del parametro a dell'equazione. La concavità è l'orientamento della parabola:
con a positivo, la concavità è verso l'alto, cioè la parabola si apre verso l'alto (il vertice è sotto il fuoco);
con a negativo, la concavità è verso il basso, cioà la parabola si apre verso il basso (il vertice è sopra il fuoco).
parabola di equazione normale
Facciamo un esempio:
La parabola con asse coincidente con l'asse y è un caso particolare. L'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y, può essere ricavata tramite una traslazione.
Traslazione
L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è:
Vediamo nel dettaglio come è composta l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y.
Osserviamo ora come varia il grafico di una parabola al variare dei coefficienti a, b, c.
Nell'equazione di una parabola 
in cui, per comodità, abbiamo scelto b=0 e c=0
il coefficiente a determina la concavità della parabola.
Osserviamo dal grafico che per a>0 la concavità è verso l'alto e la parabola diventa più stretta al crescere del coefficiente.
Nel grafico successivo osserviamo invece che per a<0 la parabola ha concavità verso il basso e al crescere del coefficiente si allarga:
Nell'equazione di una parabola in cui, per comodità, abbiamo scelto a=1 e c=0
Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse di simmetria della parabola che infatti ha equazione:
Come possiamo osservare dal grafico al crescere di 
l'asse della parabola si allontana dall'asse y.
Nell'equazione di una parabola in cui, per comodità, abbiamo scelto a=1 e b=0.
il coefficiente c determina la quota della parabola sull'asse delle ordinate. Consideriamo l'equazione:
Come possiamo osservare dal grafico il coefficiente c indica a che altezza si trova la parabola.
La parabola può avere asse di simmetria parallelo all'asse x. Per ricavare l'equazione è sufficiente applicare una simmetria (rispetto alla bisettrice I-III quadrante), scambiando x e y nell'equazione.
L'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x è:
asse di simmetria parallelo all'asse x
Analogamente al caso di asse parallelo all'asse y i tre coefficienti della parabola ne determinano forma e posizione.
Osserviamo dal grafico che per a>0 la concavità è rivolta verso destra e la parabola diventa più stretta al crescere del coefficiente.
Nel grafico successivo osserviamo invece che per a<0 la parabola ha concavità verso sinistra e al crescere del coefficiente si allarga:
Come possiamo osservare dal grafico al crescere di l'asse della parabola si allontana dall'asse x.
Come possiamo osservare dal grafico il coefficiente ci indica in quale punto la parabola taglia l'asse x.
Trovare le intersezioni tra una parabola e una retta significa risolvere il sistema formato dalle loro equazioni:
L'equazione risolvente è:
Le soluzioni del sistema saranno le coordinate (x,y) dei punti di intersezione.
Possiamo avere quattro casi:
Il sistema ha due soluzioni reali distinte: la retta interseca la parabola in due punti distinti.
retta secante
Il sistema ha due soluzioni reali coincidenti: la retta è tangente alla parabola.
retta tangente
Il sistema ha un'unica soluzione reale: la retta interseca la parabola in un solo punto.
retta secante in un solo punto
Il sistema non ha soluzioni reali: la retta non interseca la parabola.
retta esterna
