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Parabola



La parabola è il luogo geometrico dei punti con la stessa distanza da una retta d e da un punto F.


Il punto F è detto fuoco, mentre la retta d è detta direttrice


Equazione della parabola in posizione normale



Otteniamo l'equazione che descrive una parabola.


Parabola: fuoco e direttrice





La distanza tra il punto sulla parabola e la direttrice è:




La distanza tra il punto sulla parabola e il fuoco è, usando la formula della distanza tra due punti:




Una parabola è il luogo geometrico dei punti con la stessa distanza da una retta d e da un punto F. Eguagliamo le distanze tra PF e PH e semplifichiamo:






Abbiamo ottenuto l'equazione di una parabola.


L'equazione canonica o normale della parabola è:




Coefficiente a



Vediamo come funziona l'equazione di una parabola in posizione normale. In particolare, può cambiare la concavità di una parabola al variare del parametro a dell'equazione. La concavità è l'orientamento della parabola:


  • con a positivo, la concavità è verso l'alto, cioè la parabola si apre verso l'alto (il vertice è sotto il fuoco);

  • con a negativo, la concavità è verso il basso, cioà la parabola si apre verso il basso (il vertice è sopra il fuoco).


parabola di equazione normale




Facciamo un esempio:


Esempio

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Equazione della parabola traslata



La parabola con asse coincidente con l'asse y è un caso particolare. L'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y, può essere ricavata tramite una traslazione.


Traslazione



L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è:




Coefficienti dell'equazione della parabola traslata



Vediamo nel dettaglio come è composta l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y.



Osserviamo ora come varia il grafico di una parabola al variare dei coefficienti a, b, c.


Coefficiente a



Nell'equazione di una parabola in cui, per comodità, abbiamo scelto b=0 e c=0




il coefficiente a determina la concavità della parabola.




Osserviamo dal grafico che per a>0 la concavità è verso l'alto e la parabola diventa più stretta al crescere del coefficiente.




Nel grafico successivo osserviamo invece che per a<0 la parabola ha concavità verso il basso e al crescere del coefficiente si allarga:




Coefficiente b



Nell'equazione di una parabola in cui, per comodità, abbiamo scelto a=1 e c=0




Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse di simmetria della parabola che infatti ha equazione:




Come possiamo osservare dal grafico al crescere di l'asse della parabola si allontana dall'asse y.




Coefficiente c



Nell'equazione di una parabola in cui, per comodità, abbiamo scelto a=1 e b=0.




il coefficiente c determina la quota della parabola sull'asse delle ordinate. Consideriamo l'equazione:



Come possiamo osservare dal grafico il coefficiente c indica a che altezza si trova la parabola.




Equazione della parabola parallela all'asse x



La parabola può avere asse di simmetria parallelo all'asse x. Per ricavare l'equazione è sufficiente applicare una simmetria (rispetto alla bisettrice I-III quadrante), scambiando x e y nell'equazione.


L'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x è:




asse di simmetria parallelo all'asse x



Coefficienti dell'equazione della parabola traslata




Analogamente al caso di asse parallelo all'asse y i tre coefficienti della parabola ne determinano forma e posizione.


Coefficiente a



Osserviamo dal grafico che per a>0 la concavità è rivolta verso destra e la parabola diventa più stretta al crescere del coefficiente.




Nel grafico successivo osserviamo invece che per a<0 la parabola ha concavità verso sinistra e al crescere del coefficiente si allarga:




Coefficiente b



Come possiamo osservare dal grafico al crescere di l'asse della parabola si allontana dall'asse x.




Coefficiente c



Come possiamo osservare dal grafico il coefficiente ci indica in quale punto la parabola taglia l'asse x.



Intersezione tra una retta e una parabola



Trovare le intersezioni tra una parabola e una retta significa risolvere il sistema formato dalle loro equazioni:




L'equazione risolvente è:




Le soluzioni del sistema saranno le coordinate (x,y) dei punti di intersezione.

Possiamo avere quattro casi:


  • Il sistema ha due soluzioni reali distinte: la retta interseca la parabola in due punti distinti.


    retta secante



  • Il sistema ha due soluzioni reali coincidenti: la retta è tangente alla parabola.


    retta tangente



  • Il sistema ha un'unica soluzione reale: la retta interseca la parabola in un solo punto.


    retta secante in un solo punto



  • Il sistema non ha soluzioni reali: la retta non interseca la parabola.


    retta esterna



redattore del materiale didattico: Sara Passalacqua