Consideriamo un punto A ed un secondo punto A'. Il vettore:
si chiama vettore spostamento.
Il modulo, la,direzione ed il verso del vettore spostamento sono quelli del vettore 
Consideriamo due vettori 
e 
, come in Figura1.
Figura1: vettori e 
Si definisce somma o addizione tra i due vettori il vettore 
tale che:
Dalla Figura2 possiamo notare che il vettore somma si ottiene congiungendo la "testa" del vettore con la "coda" del vettore (in figura corrispondono ai punti C ed A, rispettivamente).
Figura2: Somma dei vettori e
Se i due vettori sono disposti in modo da avere un punto di partenza comune (vedi Figura3), è possibile applicare la regola del parallelogramma. A partire dalla "testa" di ciascun vettore si traccia la parallela all'altro vettore. La somma dei vettori coincide con la diagonale del parallelogramma ottenuto.
Figura3: Regola del parallelogramma
Dalle proprietà di addizione e sottrazione dei numeri reali si derivano le seguenti operazioni con i vettori:
Proprietà associativa
L'addizione tra vettori gode della proprietà associativa:
valida per i vettori arbitrari 
e 
.
Proprietà commutativa
L'addizione tra vettori gode della proprietà commutativa:
valida per i vettori arbitrari e .
Elemento neutro nell'addizione o vettore zero
Sommando ad un vettore arbitrario il vettore 
il vettore iniziale non cambia:
Si dice anche che il vettore è l'elemento neutro nell'addizione tra vettori.
Legame tra Vettore opposto e vettore zero
Sommando ad un vettore il suo opposto si ottiene il vettore .
valida per il vettore arbitrario .
Siano dati i vettori e , come in Figura4.
Figura4
La sottrazione tra due vettori si ottiene sommando al primo vettore l'opposto del secondo vettore:
Graficamente possiamo notare che otteniamo il vettore opposto di mantenendo la stessa dimensione e direzione, ma cambiando il verso della freccia (nel nostro esempio il vettore va da destra verso sinistra) e successivamente si applica la regola dell'addizione tra vettori (vedi Figura5).
Figura5
E' una equazione in cui l'incognita è un vettore. In pratica si opera allo stesso modo di una equazione in cui l'incognita è un numero. Si pone uno dei vettori come vettore incognito e si scrivono le relazioni che permettono di trovare tale vettore.
Il prodotto di un vettore con il numero reale 
, diverso da zero, è il vettore 
con le seguenti caratteristiche:
stessa direzione e verso del vettore 
, se 
verso opposto del vettore , se 
modulo di 
Dalle proprietà di addizione e sottrazione tra numeri reali si derivano le seguenti operazioni tra vettori:
Proprietà associativa
Dati due numeri reali k, l ed un vettore , la moltiplicazione gode della proprietà associativa:
Proprietà distributiva
Dato un numero reale k e due vettori , la moltiplicazione gode della proprietà distributiva:
Dati due numeri reali k, l ed un vettore :
Unità nella moltiplicazione
Moltiplicando un qualunque vettore con il numero 1 il vettore non cambia:
Vettore unitario
Il versore del vettore (
) ha la stessa direzione e verso del vettore e modulo pari a 1:
