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Moto uniformemente accelerato



Moto vario



Nel capitolo sul moto uniforme abbiamo studiato un corpo che si muove con velocità costante lungo una retta.


In generale però è difficilissimo, se non impossibile, trovare corpi che si muovono con velocità costante e in particolare in moto rettilineo uniforme. Nella maggior parte dei casi, infatti, la velocità varia nel tempo, quindi si dice che la particella è in moto vario.


Esempio

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Nella figura 1 sono rappresentati i grafici velocità tempo e accelerazione tempo di uno stesso moto; quando la velocità sale, l'accelerazione è positiva, mentre quando scende l'accelerazione è negativa e prende il nome di decelerazione.


Figura 1: esempio di moto vario.



L'accelerazione è definita come la variazione di velocità sull'intervallo di tempo in cui avviene questa variazione, cioè:




Da cui deduciamo le sue unità di misura:




Torniamo alla figura 1. Dalla matematica sappiamo che la Pendenza (coefficiente angolare) di una retta è data dalla formula:




Guardando la figura 1 , abbiamo t sull'asse delle ascisse x , v sull'asse delle ordinate y. Quindi scrivendo il coefficiente angolare in termini di velocità e tempo:




Notiamo, allora, che l'accelerazione indica la pendenza del grafico della velocità.

Possiamo, per esempio, vedere dalla figura 1:

  • Nell'intervallo la velocità è costante e l'accelerazione è nulla.

  • Nell'intervallo la velocità ha pendenza negativa, e infatti l'accelerazione è negativa.


Guardiamo ora, invece, la seguente immagine:


Figura 2: Quanto vale lo spazio percorso?



Lo spazio percorso dal corpo può essere calcolato con l'aiuto del grafico. L'area compresa tra la curva di v(t) e l'asse dei tempi (la superficie colorata in verde), è proprio lo spazio percorso dal corpo. Questa regola vale in generale per qualunque sia la velocità.


Calcoliamo ad esempio, la superficie del grafico in figura 3. L'area verde è un triangolo e dalla geometria sappiamo che l'area è la metà del prodotto della base per l'altezza. Ossia nel nostro caso:




L'accelerazione del moto è la variazione di velocità nel tempo osservato:




L'accelerazione del corpo è ottenuta osservando l'inclinazione del grafico della funzione v (t).


L'unità di misura dell'accelerazione è:




Moto vario in generale



I calcoli in questa sezione sono destinati a studenti con una conoscenza approfondita. Questo capitolo può essere omesso senza pregiudicare la comprensione delle altre sostanze.



Nella maggior parte delle situazioni reali, tuttavia, la velocità cambia continuamente (uniformemente e non a tratti come in Figura 1). Nella figura 2 è mostrato un grafico della velocità e dell'accelerazione di uno moto in cui la velocità varia continuamente:


Figura 3: Moto vario in generale



L'accelerazione tale curva generale è calcolato come segue:

  • consideriamo il tempo totale del moto composto da intervallini di tempo ;


  • possiamo approssimare allora che la velocità sia lineare in ognuno di questi intervallini, cioè:




  • ma possiamo fare questa approssimazione solo quando l'intervallo di tempo tende a 0, ossia scrivendo in termini matematici:





Tale equazione altro non è che la definizione della derivata rispetto al tempo della funzione v(t), ossia:




Questa equazione è molto simile all'equazione (1), ma dobbiamo tenere presente che in questo caso il rapporto è tra grandezze infinitamente piccole (tendenti a zero).


Nel caso invece volessimo calcolare lo spazio percorso da una velocità qualsiasi ossia l'area sottesa dal suo grafico, dobbiamo usare uno stratagemma, guardiamo l'immagine:


Figura 4: Quanto vale l'area sottesa?



Possiamo dividere l'intervallo di tempo totale in tanti sotto-intervalli più piccoli e considerare l'andamento della curva in questi intervallini sia lineare, in modo da costruire N trapezi con base e altezze e , dove i = 1, 2, ... N. Di questi trapezi sappiamo misurare l'area, e quindi l'area totale sotto il grafico è data dalla somma delle aree dei singoli trapezi, cioè:




Notiamo, dal grafico, che più rimpiccioliamo i più miglioriamo l'approssimazione dell'area sotto la curva, cioè:




Ma in altre parole questo non è altro che l'integrale definito della funzione v(t):




Inoltre c'è un'altra importante chiarificazione da fare: nel caso in cui avessimo un grafico qualsiasi dello spostamento in funzione del tempo, allora dalla lezione precedente, sappiamo che nel caso di moto uniforme la velocità indica la pendenza, quindi nel caso di un grafico qualsiasi, possiamo fare lo stesso ragionamento fatto sopra, ottenendo così:




Se a questo punto sostituiamo quest'equazione in quella dell'accelerazione:




Moto uniformemente accelerato (MUA)



Il moto uniformemente accelerato è un caso particolare del moto vario: a non varia nel tempo (costante). Nel moto uniformemente accelerato la velocità varia linearmente con il tempo.


Dall'equazione (1) sappiamo che:



L'equazione generale per il moto quando l'accelerazione è una costante, è formulato come segue:




Legge oraria e esempi



Vogliamo ricavare lo spazio percorso dall'equazione (2):




dove è la velocità all'stante in cui si inizia a misurare () che poniamo per comodità uguale a 0. Quindi abbiamo:




Questa è una retta con pendenza a e intercetta . Sappiamo inoltre che la velocità massima in è , quindi l'accelerazione nell'intervallo da 0 a è:




Figura 5: Quanto è lo spazio percorso?



Sappiamo che lo spazio percorso è l'area sotto il grafico della velocità, come si vede in figura 5, nel caso di moto uniformemente accelerato, la superficie totale s può essere scritta come:



L'equazione può essere scritta più in generale, se abbiamo lo spazio percorso fino a :




Questa equazione è la legge oraria del moto uniformemente accelerato.


Calcoliamo la velocità v in funzione della distanza s con accelerazione costante a e velocità iniziale .



La legge oraria del moto uniformemente accelerato è quindi:




La velocità scritta in funzione dello spazio nel moto uniformemente accelerato è:




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Interpretazione vettoriale del MUA



Consideriamo un corpo che si muove su una retta con vettore velocità iniziale e ad un tratto accelera per un intervallo fino a raggiungere la velocità . Vogliamo calcolare allora l'accelerazione:




Notiamo che l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso e modulo proporzionale al variazione di velocità. In questo particolare caso il vettore è costante in modulo, verso e direzione.


redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto