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Momento della forza



Fino ad ora abbiamo considerato sempre punti materiali. Ora ci chiediamo cosa accade se i corpi sono estesi. Pensiamo ad esempio al volante di un'auto. Su di esso è applicato una forza F che agisce nella direzione di rotazione del volante (vedere Figura 1). La direzione della forza è quindi tangente alla circonferenza, che è rappresentata dal volante. Il volante ruota intorno al'asse centrale, chiamato anche asse di rotazione o fulcro. La distanza tra la forza e il fulcro è detta braccio della forza b.


Figura 1: La forza sul volante di un'auto.



Il prodotto della forza esercitata sul volante e il braccio, che in questo caso è uguale al raggio r della circonferenza, è chiamato momento della forza:




L'equazione scritta si applica solo se la forza e il braccio sono perpendicolari.



Il risultato di un momento è la rotazione. Esso infatti in termini più tecnici descrive l'attitudine di una forza a imprimere la rotazione ad un oggetto attorno al fulcro.


Il momento sarà maggiore, tanto maggiore sarà la forza e/o il braccio.


Per dare un segno positivo o negativo, dobbiamo scegliere un senso di rotazione. Convenzionalmente viene scelto il verso antiorario come positivo.


L'unità del momento è Nm (Newton per metro).


Il momento è il prodotto tra la forza e il braccio se la forza e il braccio sono ortogonali:




Può essere positivo o negativo a seconda della rotazione, solitamente positivo se antiorario.



In questo documento impareremo:

  • come calcolare il momento anche se la forza e la leva non sono ortogonali;

  • come il momento agisce sul corpo;

  • cosa accade quando ci sono più forze;

  • quando i momenti sono in equilibrio;

  • centro di massa.


Calcolo del momento



Il momento è un vettore, quindi ha un modulo, una direzione e un verso. Il momento è dato dalla seguente equazione:




Dalle proprietà del prodotto vettoriali sappiamo che:

  • il modulo è dato dall'equazione




    dove è l'angolo tra i vettori e .


  • è diretto lungo la retta ortogonale al piano contenente i due vettori.


  • il verso viene ricavato dalla regola della mano destra. Si mette l'indice lungo il primo vettore e il medio lungo secondo, il pollice ci darà il verso del vettore risultante, se entrante nel piano dei vettori è negativo mentre se uscente positivo. Aiutiamoci con l'immagine:


    Figura 5: Direzione e verso di un prodotto vettoriale



    Il verso ci indica in quale verso ruota il corpo, sui è applicata la forza.



Il modulo nel caso e siano ortogonali è proprio:




Per comodità di scrittura molte volte invece di si usa semplicemente senza la freccetta.



Il momento è un vettore dato dall'equazione:




Ed ha:


  • modulo: dove è l'angolo tra i vettori e .


  • direzione:lungo la retta ortogonale al piano contenente i due vettori.


  • verso: il verso viene ricavato dalla regola della mano destra.




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Somma di momenti



Su un corpo possono agire più momenti. La risultante dei momenti si ottiene sommando tra loro i singoli momenti, cioè la somma di n momenti è:




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L'equilibrio di forze e momenti



Nei capitoli precedenti abbiamo appreso che un corpo è in equilibrio se la somma delle forze agenti sul corpo è nulla. In questo caso, il corpo è fermo o si muove in modo uniforme e rettilineo.


E se la somma delle forze è zero, la somma dei momenti come è? Sulla somma dei momenti non possiamo dire nulla a partire dalla somma delle forze (approfondiremo l'argomento nel capitolo sul momento angolare).


In questo capitolo ci limiteremo al caso in cui la somma di tutte le forze e la somma di tutti i momenti sono uguali a zero. Il corpo si dice che è quindi in equilibrio meccanico. Ciò significa che non accelera e non ruota.


Se il corpo è in equilibrio meccanico non accelera e non ruota. La condizione per l'equilibrio meccanico è che la somma di tutte le forze che agiscono sul corpo, e la somma di tutti i momenti siano:






Queste due equazioni vettoriali sono indipendenti, cioè non possiamo ricavare l'una dall'altra.



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Il centro di massa



Definiamo adesso il centro di massa, che ci semplificherà sia in termini di calcoli che di intuizione del problema per la fisica dei corpi estesi e anche dei sistemi a più particelle.

Immaginiamo di avere N particelle e ciascuna di queste abbia massa posizione nello spazio rispetto a un arbitrario sistema di coordinate. Definiamo centro di massa il punto di posizione:




Indicando con M la massa totale del sistema:




diventa:




Questa equazione può essere scomposta nelle tre componenti:








Per i corpi estesi l'argomento è matematicamente più complicato, perciò prendiamo solo alcuni casi notevoli, quali:


  • per un rettangolo o un quadrato, il centro di massa si trova al centro - cioè, all'intersezione delle diagonali.

  • per una sfera o una circonferenza il CM è nel centro della sfera o della circonferenza.

  • per un cilindro il CM si trova sull'asse di rotazione a meta dell'altezza.


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redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto