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Metodo di bisezione per la ricerca di zeri



Il metodo di bisezione si utilizza quando non è possibile determinare direttamente gli zeri di una funzione: possiamo determinare un intervallo piccolo qualsiasi in cui si trova lo zero. Il metodo di bisezione per la ricerca degli zeri è applicabile quando nell'intervallo [a,b] la funzione cambia di segno. In questo caso sappiamo che esiste almeno uno zero.


Procedimento



Sia data la funzione polinomiale f(x). Nell'intervallo [a,b] esiste almeno uno zero, se vale:




Dividiamo l'intervallo nel quale la funzione cambia di segno e osserviamo il segno della funzione nei due semiintervalli. La soluzione si troverà nel semiintervallo in cui la funzione cambia ancora di segno. Procediamo dimezzando l'intervallo fino a quando non otteniamo un risultato soddisfacente.


Il procedimento in generale è il seguente:


In primo luogo scegliamo l'intervallo




tale che valga:




Determiniamo il nuovo punto, cioè il punto medio:




Se lo zero si trova in [a, b] allora si trova sicuramente in [a, c] oppure in [c, b]. Se si verifica




allora lo zero si troverà in [a, c], se invece vale




allora lo zero sarà in [c, b]. Ipotizziamo che lo zero sia in [c, b]. Ripetiamo il procedimento determinando il punto medio d di questo intervallo:




ecc... Iteriamo il procedimento fino a che non troveremo un intervallo sufficientemente piccolo che ci dia un'approssimazione dello zero con la precisione desiderata.


Grafico del metodo di bisezione



Applichiamo il metodo su un esempio pratico.


Esempio

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redattore del materiale didattico: Cristina Capitani