Con un limite all'infinito possiamo descrivere il comportamento di una funzione lontano dall'origine degli assi, ovvero quando la variabile indipendente 
assume valori positivi o negativi infinitamente grandi.
In tal caso scriviamo:
Per comprendere la definizione di limite all'infinito, rivediamo i seguenti concetti:
Intorno di un punto
Consideriamo un intorno di un punto 
sull'asse delle ordinate, ovvero fissiamo un numero arbitrario positivo e sufficientemente piccolo 
tale che si abbia un intervallo aperto di estremi 
. Tale intervallo è l'intorno del punto la cui ampiezza dipende dal valore, di solito molto piccolo, di 
Valore M
Fissiamo un valore arbitrario 
, sufficientemente grande, sull'asse delle x, tale che per qualunque valore di x maggiore di questo estremo fissato, i valori che assume la funzione 
ricadano nell'intorno del punto b fissato in precedenza e, quanto più x si allontana da M, tanto più f(x) si avvicina al valore b.
Adesso possiamo enunciare la definizione di limite della funzione f(x) all'infinito:
Definizione:
Una funzione per 
tendente all'infinito, ha per limite il numero , ovvero:
se, fissato un numero 
, è possibile determinare un numero , tale che, per ogni x per cui vale:
vale:
Possiamo rappresentare graficamente quanto detto nel modo seguente:
Consideriamo la funzione . Se abbiamo che:
avremo anche che:
Quando i grafici di due funzioni sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, varrà dunque la seguente uguaglianza:
Consideriamo una funzione razionale del tipo:
potranno verificarsi i seguenti casi nei quali considereremo che il grado del polinomio al numeratore e al denominatore differiscono di una sola unità. Poniamo questa condizione per il fatto che considereremo solo funzioni che abbiano asintoti lineari.
Si verificherà che:
Se
con x che tende all'infinito, il denominatore tenderà a valori infinitamente grandi più velocemente del numeratore, pertanto il rapporto tenderà ad essere infinitamente piccolo.
Ne consegue che:
ovvero la funzione ha per asintoto orizzontale l'asse delle ascisse:
Si verificherà che:
dove:
in cui 
e 
sono i coefficienti di grado massimo dei due polinomi.
La retta:
è quindi asintoto orizzontale della funzione.
Si verificherà che:
Il numeratore tenderà verso valori infinitamente grandi più velocemente del denominatore e quindi anche il quoziente tenderà a valori infinitamente grandi:
Ciò vuol dire che la funzione può avere un asintoto obliquo, poiché quanto più grande è il valore di , tanto più la funzione assume valori che si avvicinano a quelli della funzione lineare 
.
L'equazione lineare 
è l'equazione dell'asintoto obliquo che possiamo calcolare come segue:
Consideriamo la funzione razionale:
per trovare l'equazione dell'asintoto obliquo, dividiamo il numeratore 
per il denominatore 
. Otterremo:
dove 
è il resto della divisione. Poiché però sappiamo che x tende a valori infinitamente grandi, il resto tenderà a zero.
Ne consegue che il rapporto del numeratore e denominatore ci dà proprio l'equazione dell'asintoto obliquo:
Come avevamo già anticipato, quanto più tende all'infinito tanto più la funzione si avvicina alla funzione lineare 
o, in altre parole, tanto minore diventa la differenza tra e :
Ricordiamo che una funzione esponenziale è una funzione del tipo:
Quanto abbiamo visto nell'esempio si verifica poiché abbiamo considerato una funzione esponenziale la cui base è un numero decimale compreso tra 0 e 1. Quanto maggiore è l'esponente, tanto minore è il valore della potenza, se l'esponente è positivo. Ne consegue che, quanto visto, dipende dal valore di infinito a cui si fa tendere la x, ovvero se si fa tendere x a 
o a 
.
Pertanto l'affermazione di cui sopra si applica solo ai seguenti casi:
Il limite di una funzione esponenziale è:
se 
o:
se 
