Limiti all'infinito

Con un limite all'infinito possiamo descrivere il comportamento di una funzione lontano dall'origine degli assi, ovvero quando la variabile indipendente assume valori positivi o negativi infinitamente grandi.

In tal caso scriviamo:

Per comprendere la definizione di limite all'infinito, rivediamo i seguenti concetti:

Adesso possiamo enunciare la definizione di limite della funzione f(x) all'infinito:

Possiamo rappresentare graficamente quanto detto nel modo seguente:

Consideriamo la funzione . Se abbiamo che:

avremo anche che:

Consideriamo una funzione razionale del tipo:

potranno verificarsi i seguenti casi nei quali considereremo che il grado del polinomio al numeratore e al denominatore differiscono di una sola unità. Poniamo questa condizione per il fatto che considereremo solo funzioni che abbiano asintoti lineari.

Si verificherà che:

Se

con x che tende all'infinito, il denominatore tenderà a valori infinitamente grandi più velocemente del numeratore, pertanto il rapporto tenderà ad essere infinitamente piccolo.

Ne consegue che:

ovvero la funzione ha per asintoto orizzontale l'asse delle ascisse:

Si verificherà che:

dove:

in cui e sono i coefficienti di grado massimo dei due polinomi.

La retta:

è quindi asintoto orizzontale della funzione.

Si verificherà che:

Il numeratore tenderà verso valori infinitamente grandi più velocemente del denominatore e quindi anche il quoziente tenderà a valori infinitamente grandi:

Ciò vuol dire che la funzione può avere un asintoto obliquo, poiché quanto più grande è il valore di , tanto più la funzione assume valori che si avvicinano a quelli della funzione lineare .

L'equazione lineare è l'equazione dell'asintoto obliquo che possiamo calcolare come segue:

Consideriamo la funzione razionale:

per trovare l'equazione dell'asintoto obliquo, dividiamo il numeratore per il denominatore . Otterremo:

dove è il resto della divisione. Poiché però sappiamo che x tende a valori infinitamente grandi, il resto tenderà a zero.

Ne consegue che il rapporto del numeratore e denominatore ci dà proprio l'equazione dell'asintoto obliquo:

Come avevamo già anticipato, quanto più tende all'infinito tanto più la funzione si avvicina alla funzione lineare o, in altre parole, tanto minore diventa la differenza tra e :

Ricordiamo che una funzione esponenziale è una funzione del tipo:

Quanto abbiamo visto nell'esempio si verifica poiché abbiamo considerato una funzione esponenziale la cui base è un numero decimale compreso tra 0 e 1. Quanto maggiore è l'esponente, tanto minore è il valore della potenza, se l'esponente è positivo. Ne consegue che, quanto visto, dipende dal valore di infinito a cui si fa tendere la x, ovvero se si fa tendere x a o a .

Pertanto l'affermazione di cui sopra si applica solo ai seguenti casi: