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Limiti all'infinito



Con un limite all'infinito possiamo descrivere il comportamento di una funzione lontano dall'origine degli assi, ovvero quando la variabile indipendente assume valori positivi o negativi infinitamente grandi.


In tal caso scriviamo:




Esempio

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Definizione di limite all'infinito



Per comprendere la definizione di limite all'infinito, rivediamo i seguenti concetti:


  • Intorno di un punto

    Consideriamo un intorno di un punto sull'asse delle ordinate, ovvero fissiamo un numero arbitrario positivo e sufficientemente piccolo tale che si abbia un intervallo aperto di estremi . Tale intervallo è l'intorno del punto la cui ampiezza dipende dal valore, di solito molto piccolo, di


  • Valore M

    Fissiamo un valore arbitrario , sufficientemente grande, sull'asse delle x, tale che per qualunque valore di x maggiore di questo estremo fissato, i valori che assume la funzione ricadano nell'intorno del punto b fissato in precedenza e, quanto più x si allontana da M, tanto più f(x) si avvicina al valore b.


Adesso possiamo enunciare la definizione di limite della funzione f(x) all'infinito:


Definizione:


Una funzione per tendente all'infinito, ha per limite il numero , ovvero:




se, fissato un numero , è possibile determinare un numero , tale che, per ogni x per cui vale:




vale:




Possiamo rappresentare graficamente quanto detto nel modo seguente:



Limite all'infinito di funzioni simmetriche rispetto all'asse delle ordinate



Consideriamo la funzione . Se abbiamo che:




avremo anche che:




Quando i grafici di due funzioni sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, varrà dunque la seguente uguaglianza:




Esempio

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Limite all'infinito delle funzioni razionali



Consideriamo una funzione razionale del tipo:




potranno verificarsi i seguenti casi nei quali considereremo che il grado del polinomio al numeratore e al denominatore differiscono di una sola unità. Poniamo questa condizione per il fatto che considereremo solo funzioni che abbiano asintoti lineari.


Caso 1: Polinomio al numeratore con grado inferiore del denominatore



Si verificherà che:


Se




con x che tende all'infinito, il denominatore tenderà a valori infinitamente grandi più velocemente del numeratore, pertanto il rapporto tenderà ad essere infinitamente piccolo.


Ne consegue che:




ovvero la funzione ha per asintoto orizzontale l'asse delle ascisse:




Caso 2: Polinomio al numeratore e denominatore di stesso grado



Si verificherà che:




dove:




in cui e sono i coefficienti di grado massimo dei due polinomi.


La retta:




è quindi asintoto orizzontale della funzione.


Caso 3: Polinomio al numeratore con grado superiore del denominatore



Si verificherà che:


Il numeratore tenderà verso valori infinitamente grandi più velocemente del denominatore e quindi anche il quoziente tenderà a valori infinitamente grandi:




Ciò vuol dire che la funzione può avere un asintoto obliquo, poiché quanto più grande è il valore di , tanto più la funzione assume valori che si avvicinano a quelli della funzione lineare .


L'equazione lineare è l'equazione dell'asintoto obliquo che possiamo calcolare come segue:


Equazione dell'asintoto obliquo



Consideriamo la funzione razionale:




per trovare l'equazione dell'asintoto obliquo, dividiamo il numeratore per il denominatore . Otterremo:




dove è il resto della divisione. Poiché però sappiamo che x tende a valori infinitamente grandi, il resto tenderà a zero.


Ne consegue che il rapporto del numeratore e denominatore ci dà proprio l'equazione dell'asintoto obliquo:




Come avevamo già anticipato, quanto più tende all'infinito tanto più la funzione si avvicina alla funzione lineare o, in altre parole, tanto minore diventa la differenza tra e :




Esempio

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Limite all'infinito di funzioni esponenziali



Ricordiamo che una funzione esponenziale è una funzione del tipo:




Esempio

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Quanto abbiamo visto nell'esempio si verifica poiché abbiamo considerato una funzione esponenziale la cui base è un numero decimale compreso tra 0 e 1. Quanto maggiore è l'esponente, tanto minore è il valore della potenza, se l'esponente è positivo. Ne consegue che, quanto visto, dipende dal valore di infinito a cui si fa tendere la x, ovvero se si fa tendere x a o a .


Pertanto l'affermazione di cui sopra si applica solo ai seguenti casi:


Il limite di una funzione esponenziale è:




se o:




se


redattore del materiale didattico: Carmine Albanese