Alcune volte, per un dato valore di x, la funzione non è definita o sembra non definita. Per capire la differenza tra le due possiamo, con lo studio dei limiti, cercare di dare a questi valori una rappresentazione, studiando cosa succede per valori quanto più "vicini" al punto problematico.
Poiché abbiamo parlato di valori vicini al punto 
, per comprendere cos'è il limite di una funzione, dobbiamo innanzitutto definire il concetto fondamentale di intorno di un punto.
L'intorno di un punto è un insieme aperto contenente il punto .
Se consideriamo il punto su una retta reale, il suo intorno sarà l'insieme dei punti della retta che costituiscono un intervallo aperto tale che la distanza tra e l'estremo dell'intervallo è un numero reale positivo arbitrariamente piccolo che chiameremo 
.
Ciò significa che l'ampiezza dell'intervallo sarà 
e che i suoi estremi sono: 
.
Generalmente un intorno è indicato con 
e in seguito nel capitolo lo chiameremo in questo modo:
L'intorno può essere:
Se adesso consideriamo un qualunque altro punto 
, esso apparterrà all'intorno di se la differenza 
è minore di :
Possiamo quindi ridefinire il concetto di intorno di un punto come l'insieme dei valori reali di 
tali che la loro distanza da sia minore di 
Vediamo ora un esempio che possa chiarire il concetto di limite.
Consideriamo di nuovo la funzione:
Come possiamo osservare la funzione non è definita per x = 2 in quanto il denominatore dev'essere in ogni caso diverso da 0.
Possiamo tuttavia calcolare i valori più prossimi a 2 sia per eccesso che per difetto ovvero considerare il suo intorno circolare.
Per valori più piccoli di 2.
Per valori più grandi di 2.
Osservando le due tabelle notiamo che più x si avvicina a 2, più i valori di f(x) si avvicinano a 4.
Possiamo anche affermare, in altre parole, che quanto più x si avvicina a 2, tanto meno i valori di f(x) distano dal valore 4: la differenza tra la funzione f(x) e il valore 4 diminuisce rispetto ad un valore arbitrario positivo 
che rappresenta l'ampiezza dell'intorno di 4:
Vediamo dunque cosa succede quando tale differenza è minore di
Come possiamo vedere, i valori di f(x) differiscono da 4 di un valore , ovvero appartengono a un intorno di 4, purchè x sia sufficientemente vicino a 2, ovvero appartenga a un intorno di 2.
Possiamo scrivere quanto affermato nel seguente modo:
Definizione di limite:
Detta 
una funzione definita in un intorno del punto senza essere definita nel punto stesso, si dice che il numero 
è il limite della funzione nel punto o meglio:
se, fissato un numero 
, è possibile determinare un numero 
, tale che, per ogni x che appartiene all'intorno vale la condizione:
con
Visto in forma grafica risulta:
I valori di 
e definiscono il limite della funzione.
In base ai valori che possono assumere e , possiamo avere i seguenti tipi di limite:
limite finito in un punto:
limite infinito in un punto:
limite finito per x tendente all'infinito:
limite infinito per x tendente all'infinito:
Per approfondire, vedi i capitoli limiti all'infinito e limiti infiniti.
Come abbiamo visto, può verificarsi che in un determinato punto, una funzione non sia definita. Nonostante ciò è possibile studiare il comportamento della funzione in tale punto, quanto più ci si avvicina la variabile indipendente x.
Vediamo un esempio di funzione non definita in un punto, ma per la quale esiste un limite finito l.
Consideriamo ora invece un esempio in cui, per x che tende a un valore finito , il limite della funzione è un valore anch'esso finito e, in questo caso, coincidente con il valore 
che assume la funzione in quel punto.
Nel calcolo dei limiti di una funzione, valgono le seguenti regole:
1. Il limite di una somma equivale alla somma dei limiti:
2. Il limite del prodotto tra una costante e una funzione equivale al prodotto della costante per il limite della funzione:
3. Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti:
4. Il limite di un quoziente equivale al quoziente dei limiti, purché il limite della funzione al denominatore non sia nullo:
