L’ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Il punto P e il punto Q sono punti dell'ellisse in figura. F e F' sono due fuochi. Abbiamo dunque:
La somma delle lunghezze dei due segmenti blu è uguale alla somma delle lunghezze dei due segmenti azzurri.
Ellisse come luogo geometrico
Prendiamo due punti F e F’ e come riferimento un sistema cartesiano in cui:
l’asse x è individuato dalla retta passante per F e F’;
l’asse y è perpendicolare a FF’ nel suo punto medio;
Indichiamo con 2c la distanza FF’. Le coordinate dei fuochi F e F’ saranno quindi:
Sistema di riferimento
Prendiamo un punto P(x,y) del piano e indichiamo con 2a la somma costante delle distanze dai due punti F e F’.
Dalla definizione di luogo geometrico, il punto P appartiene all'ellisse se:
Punto P
Calcoliamo allora le distanze PF’ e PF.
Sommiamo le due distanze ed eguagliamole a 2a:
Con opportuni passaggi arriviamo a:
Equazione cartesiana dell'ellisse:
dove è stata sfruttata la relazione: 
Le ellissi in forma normale sono curve simmetriche rispetto all'origine e agli assi di riferimento. Il centro dell’ellisse corrisponde perciò all'origine degli assi e gli assi dell’ellisse corrispondono agli assi di riferimento.
Calcoliamo la lunghezza degli assi trovando i punti in cui l’ellisse taglia gli assi cartesiani.
L’asse x ha equazione y=0, mettiamo perciò a sistema le equazioni dell’ellisse in forma normale e dell’asse x per trovare i punti A e A’ di intersezione:
I punti di intersezione dell'ellisse con l'asse x hanno coordinate A’(-a,0) e A(a,0), la cui distanza AA’ è pari a 2a.
L’asse y ha equazione x=0, mettiamo perciò a sistema le equazioni dell’ellisse in forma normale e dell’asse y per trovare i punti B e B’ di intersezione:
I punti di intersezione dell'ellisse con l'asse y hanno coordinate B’(0,-b) e B(0,b), la cui distanza BB’ è pari a 2b.
Intersezione con gli assi
Essendo a>b allora AA’>BB’, quindi AA’ è l’asse maggiore e BB’ è l’asse minore.
Le coordinate dei fuochi (c,0) e (-c,0) possono essere ricavate dalla relazione
da cui:
Quindi:
Coordinate dei fuochi:
L’eccentricità è la misura di quanto l’ellisse, per la sua forma più o meno schiacciata, differisce dalla circonferenza.
Si calcola come il rapporto:
Eccentricità:
Il valore di e è compreso tra zero e uno. Quando e=1 degenera in un segmento, mentre quando e=0 diventa una circonferenza.
L’equazione:
con:
rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y. Il segmento AA' allora diventa l'asse minore, mentre il segmento BB' l'asse maggiore.
Ellisse con i fuochi sull'asse y
Per ricavare l'equazione della tangente a un punto 
dell'ellisse è sufficiente utilizzare la formula di sdoppiamento:
Formula di sdoppiamento:
Vediamo un esempio:
Una tangente all'ellisse in un suo punto P forma angoli uguali con le rette passanti per P e per ciascuno dei due fuochi.
Proprietà tangenziale
Per ricavare l'equazione della tangente condotta da un punto 
risolviamo il sistema composto dall'equazione dell'ellisse e del fascio di rette centrato in P e poniamo il discriminante dell'equazione risolutiva pari a zero. In questo modo si troveranno i coefficienti angolari delle due tangenti all'ellisse.
