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L'ellisse



L’ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.


Il punto P e il punto Q sono punti dell'ellisse in figura. F e F' sono due fuochi. Abbiamo dunque:




La somma delle lunghezze dei due segmenti blu è uguale alla somma delle lunghezze dei due segmenti azzurri.


Ellisse come luogo geometrico



Equazione dell’ellisse



Prendiamo due punti F e F’ e come riferimento un sistema cartesiano in cui:


  • l’asse x è individuato dalla retta passante per F e F’;

  • l’asse y è perpendicolare a FF’ nel suo punto medio;


Indichiamo con 2c la distanza FF’. Le coordinate dei fuochi F e F’ saranno quindi:




Sistema di riferimento



Prendiamo un punto P(x,y) del piano e indichiamo con 2a la somma costante delle distanze dai due punti F e F’.


Dalla definizione di luogo geometrico, il punto P appartiene all'ellisse se:




Punto P



Calcoliamo allora le distanze PF’ e PF.






Sommiamo le due distanze ed eguagliamole a 2a:




Con opportuni passaggi arriviamo a:


Equazione cartesiana dell'ellisse:




dove è stata sfruttata la relazione:


Proprietà dell’ellisse



Le ellissi in forma normale sono curve simmetriche rispetto all'origine e agli assi di riferimento. Il centro dell’ellisse corrisponde perciò all'origine degli assi e gli assi dell’ellisse corrispondono agli assi di riferimento.


Assi



Calcoliamo la lunghezza degli assi trovando i punti in cui l’ellisse taglia gli assi cartesiani.


Intersezione con l’asse x



L’asse x ha equazione y=0, mettiamo perciò a sistema le equazioni dell’ellisse in forma normale e dell’asse x per trovare i punti A e A’ di intersezione:




I punti di intersezione dell'ellisse con l'asse x hanno coordinate A’(-a,0) e A(a,0), la cui distanza AA’ è pari a 2a.


Intersezione con l’asse y



L’asse y ha equazione x=0, mettiamo perciò a sistema le equazioni dell’ellisse in forma normale e dell’asse y per trovare i punti B e B’ di intersezione:




I punti di intersezione dell'ellisse con l'asse y hanno coordinate B’(0,-b) e B(0,b), la cui distanza BB’ è pari a 2b.


Asse minore e asse maggiore



Intersezione con gli assi



Essendo a>b allora AA’>BB’, quindi AA’ è l’asse maggiore e BB’ è l’asse minore.


Fuochi



Le coordinate dei fuochi (c,0) e (-c,0) possono essere ricavate dalla relazione




da cui:




Quindi:


Coordinate dei fuochi:






Eccentricità



L’eccentricità è la misura di quanto l’ellisse, per la sua forma più o meno schiacciata, differisce dalla circonferenza.

Si calcola come il rapporto:


Eccentricità:




Il valore di e è compreso tra zero e uno. Quando e=1 degenera in un segmento, mentre quando e=0 diventa una circonferenza.




Sintesi delle formule, ellisse con i fuochi sull'asse x




Ellisse con i fuochi sull’asse y



L’equazione:




con:




rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y. Il segmento AA' allora diventa l'asse minore, mentre il segmento BB' l'asse maggiore.


Ellisse con i fuochi sull'asse y



Sintesi delle formule, ellisse con i fuochi sull'asse y




Tangente a un'ellisse in un suo punto



Per ricavare l'equazione della tangente a un punto dell'ellisse è sufficiente utilizzare la formula di sdoppiamento:


Formula di sdoppiamento:




Vediamo un esempio:


Esempio

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Proprietà tangenziale



Una tangente all'ellisse in un suo punto P forma angoli uguali con le rette passanti per P e per ciascuno dei due fuochi.


Proprietà tangenziale




Tangente a un'ellisse condotta da un punto esterno



Per ricavare l'equazione della tangente condotta da un punto risolviamo il sistema composto dall'equazione dell'ellisse e del fascio di rette centrato in P e poniamo il discriminante dell'equazione risolutiva pari a zero. In questo modo si troveranno i coefficienti angolari delle due tangenti all'ellisse.



Autore principale e redattore del materiale didattico: Sara Passalacqua