Iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi e , chiamati fuochi.

L'iperbole è caratterizzata anche da un'altra coppia di punti: i vertici e . I vertici appartengono allo stesso asse al quale appartengono i fuochi.

Fissiamo sull'asse x due fuochi e simmetrici rispetto all'asse y e consideriamo la definizione di iperbole relativa ad un punto P di coordinate (x,y):

Calcoliamo la distanza tra i due punti usando il teorema di Pitagora.

Supponiamo che la differenza costante delle distanze d valga 2a, con 0 < a < c

La distanza tra i due vertici equivale a 2a, mentre quella tra i due fuochi equivale a 2c.

L'iperbole è formata da due rami separati. In figura possiamo individuare il rettangolo fondamentale rispetto al quale l'iperbole è esterna. Tale rettangolo ha appunto base pari a 2a e altezza pari a 2b.

In altre parole nessun punto dell'iperbole si troverà mai all'interno della striscia delimitata dalle rette x=a e x=-a.

Le diagonali del rettangolo fondamentale si intersecano nell'origine O e individuano delle regioni di piano in cui l'iperbole è racchiusa. Inoltre rappresentano gli asintoti dell'iperbole:

Il rapporto tra la distanza tra i fuochi e la distanza tra i vertici è chiamato eccentricità:

L'eccentricità è sempre maggiore dell'unità e dà una misura di quanto l'iperbole sia aperta o schiacciata.

Riprendiamo l'equazione dell'iperbole dell'esempio precedente:

Se i fuochi dell'iperbole stanno invece sull'asse delle ordinate, l'equazione è analoga ma con i segni cambiati:

In questo caso le coordinate dei vertici e dei fuochi sono:

e

e

L'asse trasverso coincide con l'asse y e l'asse non trasverso con l'asse x. Inoltre non ha punti di intersezione con l'asse x.

L'eccentricità vale:

Gli asintoti hanno equazione:

Vediamo le principali formule.

Ricordiamo la relazione:

In un'iperbole equilatera si ha a = b, quindi l'equazione diventa:

cioè:

Gli asintoti a questo punto hanno equazione:

cioè sono le bisettrici del I-III quadrante e del II-IV quadrante, perpendicolari tra loro.

Operiamo una traslazione di un vettore v di componenti e individuiamo un nuovo sistema di asi cartesiani OXY con origine in .

In questo nuovo sistema l'equazione del''iperbole in forma normale è:

Proviamo ora a riscrivere l'equazione riferita però al vecchio sistema di assi oxy. La trasformazione legata alla traslazione che abbiamo effettuato è:

Quindi procedendo alla sostituzione di X e Y con le relative espressioni otteniamo l’equazione dell’iperbole traslata:

L’equazione espressa in questo modo ci permette di riconoscerne le caratteristiche tipiche di un'iperbole, cioè:

Trovare le intersezioni tra un'iperbole e una retta significa risolvere il sistema formato dalle loro equazioni:

Le soluzioni del sistema saranno le coordinate (x,y) dei punti di intersezione. Nel caso di un'iperbole e di una retta possiamo avere tre casi: