L'iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi e , chiamati fuochi.






I fuochi sono due punti del piano che non appartengono al luogo geometrico, cioè non si trovano sull'iperbole.



L'iperbole è caratterizzata anche da un'altra coppia di punti: i vertici e . I vertici appartengono allo stesso asse al quale appartengono i fuochi.


Iperbole in posizione normale



Fissiamo sull'asse x due fuochi e simmetrici rispetto all'asse y e consideriamo la definizione di iperbole relativa ad un punto P di coordinate (x,y):




Calcoliamo la distanza tra i due punti usando il teorema di Pitagora.






Supponiamo che la differenza costante delle distanze d valga 2a, con 0 < a < c




Equazione dell'iperbole in posizione normale:




La distanza tra i due vertici equivale a 2a, mentre quella tra i due fuochi equivale a 2c.


Iperbole normale: asse trasverso e non trasverso



Esempio

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Gli asintoti



L'iperbole è formata da due rami separati. In figura possiamo individuare il rettangolo fondamentale rispetto al quale l'iperbole è esterna. Tale rettangolo ha appunto base pari a 2a e altezza pari a 2b.


In altre parole nessun punto dell'iperbole si troverà mai all'interno della striscia delimitata dalle rette x=a e x=-a.


Rettangolo fondamentale



Le diagonali del rettangolo fondamentale si intersecano nell'origine O e individuano delle regioni di piano in cui l'iperbole è racchiusa. Inoltre rappresentano gli asintoti dell'iperbole:




Esempio

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Eccentricità



Il rapporto tra la distanza tra i fuochi e la distanza tra i vertici è chiamato eccentricità:


Eccentricità dell'iperbole




L'eccentricità è sempre maggiore dell'unità e dà una misura di quanto l'iperbole sia aperta o schiacciata.




Riprendiamo l'equazione dell'iperbole dell'esempio precedente:


Esempio

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Iperbole con i fuochi sull'asse y



Se i fuochi dell'iperbole stanno invece sull'asse delle ordinate, l'equazione è analoga ma con i segni cambiati:




In questo caso le coordinate dei vertici e dei fuochi sono:


e


e




L'asse trasverso coincide con l'asse y e l'asse non trasverso con l'asse x. Inoltre non ha punti di intersezione con l'asse x.


L'eccentricità vale:




Gli asintoti hanno equazione:




Formulario



Vediamo le principali formule.


Ricordiamo la relazione:





Iperbole equilatera



In un'iperbole equilatera si ha a = b, quindi l'equazione diventa:




cioè:




Gli asintoti a questo punto hanno equazione:




cioè sono le bisettrici del I-III quadrante e del II-IV quadrante, perpendicolari tra loro.




Iperbole traslata



Operiamo una traslazione di un vettore v di componenti e individuiamo un nuovo sistema di asi cartesiani OXY con origine in .


In questo nuovo sistema l'equazione del''iperbole in forma normale è:




Proviamo ora a riscrivere l'equazione riferita però al vecchio sistema di assi oxy. La trasformazione legata alla traslazione che abbiamo effettuato è:




Quindi procedendo alla sostituzione di X e Y con le relative espressioni otteniamo l’equazione dell’iperbole traslata:




L’equazione espressa in questo modo ci permette di riconoscerne le caratteristiche tipiche di un'iperbole, cioè:


  • presenza di termini quadratici

  • termini di secondo grado con coefficienti di segno opposto.





Intersezione tra retta e iperbole



Trovare le intersezioni tra un'iperbole e una retta significa risolvere il sistema formato dalle loro equazioni:




Le soluzioni del sistema saranno le coordinate (x,y) dei punti di intersezione. Nel caso di un'iperbole e di una retta possiamo avere tre casi:


  • Retta tangente all'iperbole: il sistema dà due soluzioni coincidenti




  • Retta secante: il sistema restituisce due soluzioni distinte




  • nessun punto in comune: il sistema non dà alcuna soluzione.





redattore del materiale didattico: Sara Passalacqua