Sistemi lineari e piano cartesiano fb
 

I sistemi di equazioni di primo grado



Equazioni con due incognite



Un'equazione in due incognite, per esempio x e y, è del tutto simile ad un'equazione ad un'incognita: bisogna trovare i numeri che sostituiti alle due incognite rendano l'equazione valida.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Ci occupiamo delle equazioni di primo grado. Tali equazioni sono dette anche lineari, perché l'insieme delle soluzioni di un'equazione in due incognite è una retta.


Vediamo che si possono scrivere in forma implicita o esplicita.


Equazioni a due incognite in forma implicita (equazione di una retta):




Equazioni a due incognite in forma esplicita (equazione di una retta):




Sistemi di equazioni



Si dice sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni che devono valere contemporaneamente. Per indicare che le equazioni fanno parte di un sistema, si usa scriverle su righe diverse riunite a sinistra da una parentesi graffa.


I sistemi di primo grado devono quindi essere costituiti da equazioni di primo grado. Essi sono anche detti sistemi lineari.


Un sistema di due equazioni di primo grado nelle due incognite x e y si dice in forma normale quando è scritto nella forma




essendo numeri reali.



Come si fa a verificare se una coppia ordinata di numeri reali è una soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite? Basta sostituire tali numeri al posto delle rispettive incognite in entrambe le equazioni del sistema: se entrambe le equazioni si trasformano in eguaglianze vere, allora la coppia di numeri è effettivamente una soluzione del sistema.


Sistemi determinati, indeterminati o impossibili



Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite può avere:


  • una sola soluzione (il sistema è determinato)

  • nessuna soluzione (il sistema è impossibile)

  • infinite soluzioni (il sistema è indeterminato)


Corrispondentemente, poiché ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta, un sistema di due equazioni di questo tipo può essere rappresentato da:


  • due rette incidenti (la soluzione è il punto in comune di tali rette)

  • due rette parallele e distinte (le rette non hanno nessun punto in comune)

  • due rette parallele e coincidenti (le infinite soluzioni corrispondono agli infiniti punti in comune di tali rette)


Risoluzione grafica



Per risolvere graficamente un sistema si tracciano, in un grafico cartesiano, le due rette che rappresentano le equazioni del sistema.


Sistemi determinati (una soluzione)



Verifichiamo subito che, se il sistema è determinato, le due rette si incontreranno in un punto, le cui coordinate costituiscono l'unica soluzione del sistema.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


In tutti i sistemi determinati, i rapporti tra i coefficienti delle due equazioni, risultano essere:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Sistemi impossibili (nessuna soluzione)



Vediamo un esempio di sistema impossibile.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »



Nei sistemi impossibili, i rapporti tra i coefficienti delle due equazioni, risultano essere:




Sistemi indeterminati (infinite soluzioni)



Vediamo un esempio di sistema indeterminato.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Nei sistemi indeterminati, i rapporti tra i coefficienti delle due equazioni, risultano essere:



Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesca Martorana