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I sistemi di disequazioni di primo grado



La disequazione è una diseguaglianza che è verificata per certi intervalli di valori


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Una disequazione è una formula aperta con uno dei seguenti predicati: "essere minore", "essere minore o uguale", "essere maggiore", "essere maggiore o uguale".


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Anche per risolvere le disequazioni si utilizza un PRINCIPIO di EQUIVALENZA analogo a quello per le equazioni che può essere così riassunto.


Una disequazione si trasforma in una disequazione equivalente se:


  • si addiziona ( o si sottrae ) per lo stesso numero reale sia a sinistra, sia a destra del predicato;


  • si moltiplica ( o si divide ) per lo stesso numero reale positivo sia a sinistra sia a destra del predicato;


  • si moltiplica ( o si divide ) per lo stesso numero reale negativo sia a sinistra sia a destra del predicato; ma si inverte il predicato stesso






Soluzioni di una disequazione di I grado



Una disequazione ha, in genere, infinite soluzioni; è pertanto impossibile scriverle tutte.


Infatti anziché scriverle, si rappresentano graficamente.


Le soluzioni di una disequazione di primo grado in un'incognita sono in genere rappresentate da una semiretta.


Le soluzioni di una disequazione di primo grado in due incognite sono in genere rappresentate da un semipiano.



Disequazioni in una sola incognita



L'insieme delle soluzioni di una disequazione propria con predicato " < " oppure " > " può essere rappresentato con una semiretta aperta (senza cioè il suo estremo, indicato con una crocetta).



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Se invece, il predicato è "" oppure "" anche l'estremo della semiretta è soluzione e la sua rappresentazione è una semiretta chiusa (l'estremo si indicherà con un punto pieno).





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Disequazioni in due incognite



Abbiamo già anticipato che le soluzioni di una disequazione di primo grado in due incognite sono in genere rappresentate da un semipiano.


E più precisamente:


  • : semipiano superiore alla retta di equazione


  • : semipiano inferiore alla retta di equazione


  • : semipiano a destra della retta


  • : semipiano a sinistra della retta



In maniera analoga alle disequazioni ad una sola incognita, a proposito delle frontiere si osserva quanto segue:



Se in una disequazione compaiono i predicati "minore" oppure "maggiore" il semipiano delle soluzioni è privo dei punti della retta di frontiera.


Se invece compaiono i predicati "minore o uguale" oppure "maggiore o uguale", anche i punti della retta di frontiera fanno parte dell'insieme delle soluzioni.





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Sistemi di disequazioni di I grado



Risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l’insieme dei numeri reali che sono soluzioni comuni alle disequazioni, cioè che verificano contemporaneamente tutte le disequazioni che compongono il sistema.


Per risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione e poi considerare l' intersezione degli insiemi delle loro soluzioni: l'insieme risultante sarà l' insieme delle soluzioni del sistema e si indica con "I.S." .


Sistemi di disequazioni in una sola incognita



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Sistemi di disequazioni in due incognite



L'insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni di primo grado in due incognite è rappresentato dall'intersezione di più semipiani.

E' perciò una regione convessa del piano, se non è infinita o vuota, allora è un poligono.


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Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesca Martorana