Abbiamo sempre detto che la radice quadrata di un numero negativo è impossibile da risolvere. In matematica, in realtà, è impossibile darsi dei confini: si può arrivare fin dove arriva l'immaginazione.
Possiamo certamente dire che l'infinito insieme dei numeri reali non permette la risoluzione di alcuni problemi. Ad esempio non è possibile eseguire la radice di indice pari di un numero negativo, l'elevamento a potenza di un numero negativo con esponente reale, oppure il logaritmo di un numero reale negativo.
Viene introdotto un nuovo insieme, detto dei numeri complessi, che permette di risolvere i problemi elencati precedentemente.
L'unità immaginaria
è definita come:
L'unità immaginaria elevata alla seconda è uguale a -1.
L'unità immaginaria è uno strumento a nostra disposizione per modellare problemi altrimenti impossibili.
L'unità immaginariaè tale appunto perchè non la abbiamo possiamo "vedere" nella realtà. I numeri reali li possiamo intuitivamente posizionare su una retta ordinata.
Spesso l'unita immaginaria i è definita scorrettamente nel modo seguente:
perché la radice quadrata è definita solamente per i numeri positivi. Per dimostrare l'errore si osservi la contraddizione nel seguente enunciato.
Valgono, inoltre, le seguenti relazioni per calcolare le potenze di :
e così via per le potenze successive.
Ogni radice quadrata di un numero negativo, quindi, può essere scritta utilizzando l'unità immaginaria:
Il numero complesso si compone di due parti: la parte reale, quella con cui abbiamo sempre lavorato, e la parte immaginaria. In termini generali può essere scritto come somma di:
Verifichiamo di aver appreso correttamente:
la parte immaginaria è 
la parte immaginaria è 
Dato un numero complesso 
, si definisce complesso coniugato il numero complesso 
.
Si ottiene praticamente lasciando invariata la parte reale e cambiando di segno la parte immaginaria.
Dato un numero complesso , si definisce opposto il numero complesso 
.
Si ottiene cambiando di segno sia la parte reale che la parte immaginaria.
Dato un numero complesso , si definisce simmetrico il numero complesso 
.
Si ottiene scambiando la parte reale con la parte immaginaria del numero complesso.
Come possiamo rappresentare i numeri complessi? Se i numeri reali si rappresentano su una retta, per i numeri complessi possiamo ricorrere ad un piano cartesiano.
L'asse x è l'asse della parte reale 
. L'asse y è l'asse della parte immaginaria 
.
Un numero complesso z è una coppia di numeri reali e immaginari; è illustrato nel piano complesso con un punto di ascissa equivalente al valore della componente reale e di ordinata equivalente alla componente immaginaria del numero complesso. Ogni punto del piano complesso corrisponde dunque ad un numero complesso.
Rappresentiamo un generico numero complesso 
è la parte reale e si posiziona sull'asse reale
è la parte immaginaria e si posiziona sull'asse
Per definizione: 
Sfruttando la proprietà della moltiplicazione e della scrittura dell'unità immaginaria in termini complessi, si può calcolare il quadrato di .
= 
= 
= 
= 
è stato identificato con l’unità reale 
è quindi equivalente a 
Un numero complesso è reale se la coppia è del tipo 
Questo numero complesso è a tutti gli effetti un numero reale, che si posizione sull'asse reale come un normale numero sulla retta dei reali.
Un numero complesso è puramente immaginario se la coppia è del tipo 
.
Questo numero si posiziona sull'asse immaginario ed è un multiplo dell'unità immaginaria, privo di parte reale.
Dato un numero complesso , si definisce complesso coniugato il numero complesso .
I due numeri complessi avranno stessa parte reale ma parte immaginaria con segni opposti.
Dato un numero complesso , si definisce oppostonil numero complesso . I due numeri complessi avranno parte reale e parte immaginaria con segni opposti.
Dato un numero complesso , si definisce simmetrico il numero complesso . I due numeri complessi avranno parte reale e parte immaginaria scambiati tra loro.
Oltre alla rappresentazione cartesiana, esistono altre due forme per scrivere i numeri complessi: la rappresentazione polare o forma trigonometrica e la forma esponenziale. E' bene notare che è possibile passare da una rappresentazione all'altra senza dover ricorrere a calcoli complicati. Per lo studio di queste due rappresentazioni si rimanda al capitolo altre rappresentazioni dei numeri complessi.
