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Gli insiemi



Il concetto di insieme è elementare e dobbiamo già poterlo intuire. Quando abbiamo degli oggetti, se riusciamo a considerarli collegati tra loro, abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.


Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi dell'insieme.


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Usiamo le lettere minuscole per definire gli elementi di un insieme e le lettere maiuscole per definire gli insiemi.




Possiamo dire l'elemento a appartiene all'insieme A.




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Rappresentazione degli insiemi



Dobbiamo trovare un accordo per poter definire e rappresentare gli insiemi. Presentiamo varie strategie per poter rappresentare un insieme.


Elenco



Vengono elencati tutti gli elementi, tra parentesi graffe separati da virgole


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Per insiemi infiniti, se risulta sufficientemente chiaro, si possono usare i puntini di sospensione.


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Caratteristica



Si può definire la caratteristicha/proprietà che accomuna gli oggetti che compongono l'insieme


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E' possibile specificare, negli insiemi numerici, a quale famiglia di numeri appartengano gli elementi, come numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali, numeri complessi.


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Diagrammi di Eulero Venn



In forma grafica mediante i diagrammi di Eulero Venn, rendendo gli insiemi visibili.


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Si chiede che un insieme sia univocamente determinato. La sua definizione deve essere sempre molto chiara.

Non possiamo dire che A è l'insieme delle persone alte.

Possiamo dire invece che B è l'insieme delle persone più alte di 200 cm.



Si definisce cardinalità di un insieme il numero degli elementi di un insieme.


Operazioni con gli insiemi



Presentiamo le principali operazioni con gli insiemi.


Unione, intersezione e differenza



Le principali operazioni tra insiemi sono:


  • L'unione di due insiemi A e B: si indica con ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una sola volta.


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  • L'intersezione di due insiemi A e B: si indica con ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente. L'intersezione tra l'insieme dei mesi e l'insieme delle parole che iniziano con la lettera N comprende solo novembre.


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  • La differenza B meno A si indica con con ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A.

    viene anche detto insieme complementare di A in B e si indica .


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Operazioni con gli insiemi



Differenza simmetrica



La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A. Si indica con:




E' intuitivamente l'inverso dell'intersezione di due insiemi.


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Prodotto cartesiano



Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate con e


Insiemi particolari



Esistono alcuni insiemi particolari, definiti per alcune loro caratteristiche tipiche.


Sottoinsiemi



L'insieme dei pesci è un sottoinsieme del più vasto insieme degli animali. L'insieme degli Italiani è un sottoinsieme dell'insieme degli Europei.

In matematica, si dice che B è sottoinsieme di A se tutti i suoi elementi sono contenuti in A. Secondo tale definizione ogni insieme è contenuto in se stesso. Si usa la seguente notazione:




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Per ogni insieme possiamo trovare moltissimi sottoinsiemi. O molti insiemi che lo contengono.


Il concetto di sottoinsieme può essere legato al concetto di minore o uguale. Dire che B è sottoinsieme (anche coincidente) di A è ad intuito simile a dire che 3 è minore o uguale a 5.






Se invece si vuole escludere che B sia coincidente con A si usa la notazione seguente, similmente a come avviene per il minore.






Vediamo un altro esempio di sottoinsiemi.


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Insiemi disgiunti



Gli insiemi disgiunti non hanno alcun elemento in comune, come l'insieme dei vegetali e l'insieme degli animali.


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Insieme vuoto



Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo Ø oppure con due parentesi graffe consecutive, la prima aperta e l'altra chiusa . L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme, incluso se stesso. Uno studente svogliato (che ha capito la teoria degli insiemi) potrebbe dire che l'insieme degli argomenti divertenti da studiare è un insieme vuoto.


Insieme delle parti



Per qualunque insieme A esiste l'insieme delle parti o insieme potenza di A e si indica con:




E' l' insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di A.


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Proprietà delle operazioni con gli insiemi



Si possono combinare tra loro diverse operazioni tra gli insiemi e utilizzare le seguenti proprietà facilmente verificabili con degli esempi.


Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione



L'unione di A con B intersecata con A è uguale all'unione dell'intersezione di A con B e di A con C.




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Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione



L'insieme A interescato all'unione di B e C è uguale all'unione dell'intersezione tra A e B e dell'intersezione tra A e C.




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Legge di assorbimento di Boole



L'insieme A intersecato con l'unione di A e B è uguale ad A.




L'insieme A unito con l'intersezione di A e B è uguale ad A.




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Le funzioni



Una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti:

  • Un insieme detto dominio della funzione .

  • Un insieme detto codominio della funzione .

  • Una relazione che ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento , indicandolo con .


Si dice che è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre o è un valore della variabile dipendente della funzione.


Rappresentazione di una funzione


redattore del materiale didattico: Francesca Gatti