Gli insiemi

Il concetto di insieme è elementare e dobbiamo già poterlo intuire. Quando abbiamo degli oggetti, se riusciamo a considerarli collegati tra loro, abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi dell'insieme.

Usiamo le lettere minuscole per definire gli elementi di un insieme e le lettere maiuscole per definire gli insiemi.

Possiamo dire l'elemento a appartiene all'insieme A.

Dobbiamo trovare un accordo per poter definire e rappresentare gli insiemi. Presentiamo varie strategie per poter rappresentare un insieme.

Vengono elencati tutti gli elementi, tra parentesi graffe separati da virgole

Per insiemi infiniti, se risulta sufficientemente chiaro, si possono usare i puntini di sospensione.

Si può definire la caratteristicha/proprietà che accomuna gli oggetti che compongono l'insieme

E' possibile specificare, negli insiemi numerici, a quale famiglia di numeri appartengano gli elementi, come numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali, numeri complessi.

In forma grafica mediante i diagrammi di Eulero Venn, rendendo gli insiemi visibili.

Si definisce cardinalità di un insieme il numero degli elementi di un insieme.

Presentiamo le principali operazioni con gli insiemi.

Le principali operazioni tra insiemi sono:

La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A. Si indica con:

E' intuitivamente l'inverso dell'intersezione di due insiemi.

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate con e

Esistono alcuni insiemi particolari, definiti per alcune loro caratteristiche tipiche.

L'insieme dei pesci è un sottoinsieme del più vasto insieme degli animali. L'insieme degli Italiani è un sottoinsieme dell'insieme degli Europei.

In matematica, si dice che B è sottoinsieme di A se tutti i suoi elementi sono contenuti in A. Secondo tale definizione ogni insieme è contenuto in se stesso. Si usa la seguente notazione:

Per ogni insieme possiamo trovare moltissimi sottoinsiemi. O molti insiemi che lo contengono.

Vediamo un altro esempio di sottoinsiemi.

Gli insiemi disgiunti non hanno alcun elemento in comune, come l'insieme dei vegetali e l'insieme degli animali.

Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo Ø oppure con due parentesi graffe consecutive, la prima aperta e l'altra chiusa . L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme, incluso se stesso. Uno studente svogliato (che ha capito la teoria degli insiemi) potrebbe dire che l'insieme degli argomenti divertenti da studiare è un insieme vuoto.

Per qualunque insieme A esiste l'insieme delle parti o insieme potenza di A e si indica con:

E' l' insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di A.

Si possono combinare tra loro diverse operazioni tra gli insiemi e utilizzare le seguenti proprietà facilmente verificabili con degli esempi.

L'unione di A con B intersecata con A è uguale all'unione dell'intersezione di A con B e di A con C.

L'insieme A interescato all'unione di B e C è uguale all'unione dell'intersezione tra A e B e dell'intersezione tra A e C.

L'insieme A intersecato con l'unione di A e B è uguale ad A.

L'insieme A unito con l'intersezione di A e B è uguale ad A.

Una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti:

Si dice che è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre o è un valore della variabile dipendente della funzione.