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Funzioni tangente e cotangente



Si prenda un triangolo rettangolo:


Triangolo rettangolo; il lato b è adiacente all'angolo α, il lato a è opposto
all'angolo α



Le funzioni tangente e cotangente in un triangolo retto mettono in relazione l'angolo acuto ed i cateti del triangolo:


La funzione tangente dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto opposto (a) e il cateto adiacente (b):




La funzione cotangente dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto adiacente (b) e il cateto opposto (a):




Grafico delle funzioni tangente e cotangente



Tracciamo le funzioni tangente e cotangente su un cerchio unitario:


Funzioni tangente e cotangente su un cerchio unitario



I valori di tangente e cotangente sono meno facili da leggere con il cerchio unitario, per cui nel tracciamento ci aiuteremo con i valori di seno e coseno che già conosciamo (allargheremo la tabella e calcoleremo i valori da a ), rendendo più facile il tracciamento della tangente e della cotangente.


Per il calcolo della tangente e cotangente utilizzeremo le formule:







Il valore dell'angolo α si misura in radianti. Questo significa che il valore dell'angolo giro è 3.14159... e non 180°.



Tracciamo la funzione tangente. Sull'asse x riportiamo il valore dell'angolo α, sull'asse y il valore della tangente:


Grafico della funzione tangente di x



Nel tracciare la funzione tangente riportiamo l'angolo α sull'asse x.





Ricaviamo i valori dalla tabella e li confrontiamo col grafico. I valori devono corrispondere:


  • Iniziamo leggendo dalla tabella il valore per l'angolo ricavandone il valore .

  • Il valore seguente di α preso in considerazione corrisponde a , il valore ricavato è .

  • Continuiamo con l'angolo , leggendovi il valore della tangente .

  • Con l'angolo leggiamo il valore .

  • All'angolo leggiamo il valore di tangente .

  • Quando l'angolo α è uguale a leggiamo dalla tabella il valore della funzione tangente, che è uguale a .

  • Quando aumentiamo l'angolo α sul cerchio unitario a la tangente raggiunge il valore di .

  • Aumentando l'angolo α a rileviamo il valore di tangente .

  • Aumentiamo l'angolo α a , rileviamo il valore di tangente , da qui in avanti i valori si ripetono e possiamo concludere che la tangente si ripete ogni .


Abbiamo completato un cerchio intero; se ne facciamo un altro gli stessi passi si ripeteranno. La funzione si ripete visibilmente ad intervalli di .


è pertanto il periodo della funzione.




La funzione tangente è periodica con periodo . Sul grafico è facile rilevare la periodicità ed il ripetersi della funzione.



Grafico della funzione cotangente di x



Nel tracciare la funzione cotangente riportiamo l'angolo α sull'asse x.





Analogo procedimento si ripete nel caso della cotangente - leggiamo i valori dalla tabella confrontandoli col grafico - i valori devono corrispondere.


  • Iniziamo leggendo il valore in tabella per l'angolo ricavandone il valore .

  • Il valore seguente di α che prendiamo in considerazione equivale a , leggiamo dunque il valore .

  • Continuiamo con l'angolo , leggiamo il valore della cotangente .

  • All'angolo leggiamo il valore .

  • Per l'angolo leggiamo il valore della cotangente .

  • Quando l'angolo α è uguale a leggiamo dalla tabella il valore della funzione cotangente, che equivale a .

  • Quando aumentiamo l'angolo α sul cerchio unitario a , la cotangente raggiunge il valore di .

  • Quando aumentiamo l'angolo α a leggiamo il valore della cotangente .

  • Aumentiamo l'angolo α a , leggiamo il valore della cotangente 0, da qui in poi i valori iniziano a ripetersi e possiamo concludere che la cotangente si ripete ogni .



Abbiamo portato a termine un cerchio completo; se ne facciamo un altro gli stessi passi si ripeteranno. La funzione visibilmente si ripete ogni .


è pertanto il periodo della funzione.




La funzione cotangente è periodica con periodo . Sul grafico è facile visualizzare la periodicità ed il ripetersi della funzione.



Proprietà delle funzioni tangente e cotangente



Le proprietà delle due funzioni sono facilmente ricavabili dal grafico. Ira descriveremo le proprietà che abbiamo rilevato dal grafico anche in termini matematici.


Dominio e valori delle funzioni tan x e cot x



Al dominio di una funzione appartengono tutti gli x che possiamo tracciare sul grafico e per i quali esiste la funzione.


Tangente e cotangente sono definiti come frazioni. Sappiamo che una frazione non può esistere (non è definita) se il denominatore è uguale a 0, per cui elimineremo dal dominio tutti quei valori di funzione che presentano un valore del denominatore di 0. Chiameremo questi valori poli o asintoti verticali.


I valori della funzione sono tutti gli y presenti nel grafico.


Dominio e valori della funzione tan x



La funzione tangente è definita come




La tangente presenta i poli esattamente quando è (zeri del coseno), e questo si ha ogni:




Dominio della funzione tangente è tutto l'asse reale x senza , ovvero:




Dal grafico della funzione tangente e dalla tabella possiamo osservare che l'arco dei valori della funzione è .


Valori della funzione tangente:




Dominio e valori della funzione cot x



La funzione cotangente è definita come




La cotangente presenta i poli esattamente quando è (zeri del seno), e questo si ha ogni




Il dominio della funzione cotangente è tutto l'asse reale x senza .




Al dominio appartengono tutti gli y presenti nel grafico. Dal grafico della funzione cotangente e dalla tabella possiamo osservare che l'arco dei valori della funzione è .


Valori della funzione cotangente:




Zeri delle funzioni tan x e cot x



Gli zeri della funzione sono quei punti dove la funzione interseca l'asse x.


Zeri di tan x



Gli zeri della tangente si trovano ad ogni multiplo di , ovvero la funzione tangente ha valore zero per gli angoli:




In altre parole:




Ricaviamo gli zeri della tangente con l'enunciato:




La soluzione dell'enunciato è:




Esempio

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Zeri di cot x



Gli zeri della cotangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del coseno).




o in altre parole:




Ricaviamo gli zeri della cotangente con l'enunciato:




La soluzione dell'enunciato è:




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Poli delle funzioni tangente e cotangente



Poli di tan x



I poli della tangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del coseno), ovvero la tangente per questi valori non esiste (non è definita).




o in altre parole:




Ricaviamo i poli della tangente con l'enunciato:




La soluzione dell'enunciato è:





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Poli di cot x



I poli della cotangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del seno):




o in altre parole:




Ricaviamo i poli della cotangente con l'enunciato:




La soluzione dell'enunciato è:




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Parità e disparità delle funzioni tangente e cotangente



La funzione è pari se è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate, ovvero:




La funzione è dispari se simmetrica rispetto all'asse y:




Disparità della funzione tan x



Per la funzione tangente vale:




come possiamo verificare dal grafico (la funzione è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate). La funzione è evidentemente dispari.


Disparità di cot x



Per la funzione cotangente vale:




come possiamo verificare dal grafico (la funzione è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate). La funzione cotangente è evidentemente dispari.


L'andamento delle funzioni tan x in cot x



Crescita di tan x[uredi]



La crescita della tangente è facilmente rilevabile dal grafico. La funzione cresce per tutto il .


Decrescita di cot x



Anche la decrescita della cotangente è facile da verificare. La cotangente decresce per tutto il .



Periodicità di tan x e cot x



Le funzioni tangente e cotangente sono periodiche con periodo . Possiamo facilmente vedere questa periodicità/ripetizione nel grafico.


Vale:


La funzione tangente è periodica con periodo .




e


La funzione cotangente è periodica con periodo .




Continuità delle funzioni tangente e cotangente



Le funzioni tangente e cotangente sono discontinue. Nel grafico lo vediamo nei punti in cui si "interrompono" in corrispondenza dei poli.


Autore principale e redattore del materiale didattico: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.