Grafico di seno e coseno fb
 

Funzioni seno e coseno



Triangolo rettangolo; il lato b è adiacente all'angolo α, il lato a è opposto all'angolo α




Si consideri un triangolo rettangolo: le funzioni seno e coseno in un triangolo rettangolo mettono in relazione l'angolo acuto ed i cateti del triangolo.


La funzione seno dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto opposto (a) e l'ipotenusa (c):




La funzione coseno dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto adiacente (b) e l'ipotenusa (c):




Nei capitoli seguenti vedremo come le funzioni seno e coseno siano uguali, con la differenza che sono tra loro distanziate di esattamente .


Da questo fatto deriva che sono tra loro distanziati di anche:


  • gli zeri;

  • i punti di massimo;

  • i punti di minimo.


Teorema di Pitagora



Dal teorema di Pitagora otteniamo la relazione tra seno e coseno. Dall'illustrazione in alto prendiamo i lati del triangolo rettangolo.




Il teorema di Pitagora espresso in un cerchio unitario tramite le funzioni seno e coseno:




Grafico delle funzioni seno e coseno



Tracciamo le funzioni seno e coseno in un cerchio unitario, ovvero di raggio pari ad 1:


Funzioni seno e coseno su un cerchio unitario




Tracciando le funzioni in un cerchio unitario semplifichiamo il calcolo delle due funzioni; il valore dell'ipotenusa c è pari a 1, il che semplifica le equazioni per seno e coseno in:







Il valore dell'angolo α si misura in radianti. Questo significa che il valore dell'angolo giro è 3.14159... e non 180°.



Nel tracciare la funzione seno riportiamo l'angolo α sull'asse x. Per questo nell'utilizzo del grafico per l'angolo α utilizziamo la designazione x.



Dal cerchio unitario possiamo raccogliere tutte le seguenti informazioni sulle funzioni circolari di particolari angoli:


Valori delle funzioni seno e coseno nel cerchio unitario




Valori delle funzioni seno e coseno




Concludiamo, dai valori di seno e coseno dal cerchio unitario possiamo disegnare grafici del seno e coseno.


Tracciamo la funzione seno. Sull'asse x mettiamo il valore dell'angolo α, sull'asse y il valore del seno:


Grafico del seno di base





Grafico del coseno di base





Campo di esistenza e valori della funzione di seno e coseno



Al campo di esistenza appartengono tutti gli che possiamo tracciare nel grafico. Sia per il seno che per il coseno il campo di esistenza è tutta la retta reale, ovvero: per qualsiasi angolo scelto la funzione avrà una soluzione.


Campo di esistenza delle funzioni seno e coseno è l'intero insieme dei numeri reali:




Dal grafico per seno e coseno su un cerchio unitario possiamo rilevare che i valori della funzione, ovvero tutti i possibili , sono: .


Valori della funzione su un cerchio unitario.





Zeri delle funzioni seno e coseno



Gli zeri di una funzione sono i punti dove la funzione interseca l'asse x.


Zeri della funzione seno



Gli zeri del seno si trovano ad ogni multiplo di , ovvero la funzione seno ha valore zero per gli angoli:




in altri termini:




Ricaviamo gli zeri del seno con l'enunciato:




La soluzione è:




Esempio

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Zeri della funzione coseno



Gli zeri del coseno si trovano ad ogni multiplo di , ovvero il coseno ha valore zero per gli angoli:




in altri termini:




Ricaviamo gli zeri del coseno coll'enunciato:




La soluzione è:




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Punti di massimo e minimo delle funzioni seno e coseno



I punti di massimo dele funzioni seno e coseno sono i punti in cui la funzione raggiunge il valore massimo sull'asse y. I punti di minimo sono quelli in cui la funzione raggiunge il valore minimo sull'asse y.


Punti di massimo della funzione seno



I punti di massimo si presentano (vedi grafico) a:




Ricaviamo i punti di massimo coll'enunciato:




La soluzione è:




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Punti di minimo della funzione seno



I punti di minimo si presentano (vedi grafico) a:




Ricaviamo i punti di minimo coll'enunciato:




La soluzione è:




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Punti di massimo della funzione coseno



I punti di massimo si presentano (vedi grafico) a:




Ricaviamo i punti di massimo del coseno coll'enunciato:




La soluzione è:




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Punti di minimo della funzione coseno



I punti di minimo si presentano (vedi grafico) a:




Ricaviamo i punti di minimo del coseno coll'enunciato:




La soluzione è:




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Parità e disparità delle funzioni seno e coseno



La funzione è dispari se è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate, ovvero:




La funzione è pari se simmetrica rispetto all'asse y:




Parità/disparità della funzione seno



Per la funzione seno vale:




come possiamo verificare dal grafico. La funzione seno è evidentemente dispari.


Parità/disparità della funzione coseno



Per la funzione coseno vale:




come possiamo verificare dal grafico. La funzione seno è evidentemente pari.


L'andamento delle funzioni seno e coseno



L'andamento della funzione seno si ricava facilmente dal grafico:


  • il seno aumenta fino alla linea verde, ovvero da 0 a


  • il seno diminuisce dalla linea verde alla linea blu, ovvero da a


  • e torna ad aumentare a partire dalla linea blu, ovvero da a




L'andamento della funzione coseno si ricava altrettanto facilmente:


  • il coseno diminuisce fino alla linea verde, ovvero da 0 a


  • il coseno aumenta dalla linea verde e poi da fino a




Continuità delle funzioni seno e coseno



Le funzioni sono continue in tutto il campo di esistenza, quindi dovunqe. In altri termini non vi sono 'interruzioni' del grafico.


Periodicità delle funzioni seno e coseno



Ambedue le funzioni sono periodiche, con periodo . Tutti i valori (tranne gli zeri) si ripetono nel cerchio unitario (o grafico) ogni .


Possiamo concludere:





Autore principale e redattore del materiale didattico: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.