In questo capitolo ci occupiamo delle funzioni razionali, ossia di quelle frazioni con polinomi sia al numeratore che al denominatore, entrambi dipendenti dalla x.
Il principale obiettivo è capire come tracciare il grafico di queste funzioni mediante alcuni passaggi. Il grafico rappresenta l'insieme dei punti sul piano cartesiano individuati dal valore della f(x) in ordinata e della corrispondente x in ascissa.
Nel capitolo vediamo come ricavare delle informazioni che ci permettono di fissare dei punti e degli asintoti sul piano cartesiano. Grazie ad essi possiamo costruire la curva del grafico.
Consideriamo due polinomi, indicati con p(x) e q(x). La funzione f(x) è uguale al rapporto tra i due polinomi:
Se q(x) è un polinomio che non assume mai il valore nullo (il denominatore non può annullarsi), allora la funzione f(x) si chiama funzione razionale.
Gli zeri della funzione razionale sono quei valori della x per cui f(x)=0. In particolare essi coincidono con gli zeri del numeratore p(x).
Dobbiamo escludere quei valori della x per cui per cui q(x)=0, ossia gli zeri del denominatore. Essi si chiamano poli della funzione razionale: nei poli la funzione razionale non è definita.
L'insieme di definizione della funzione razionale è costituita da tutto l'insieme dei numeri reali meno i poli. L'insieme di definizione si dice anche dominio o campo di esistenza della funzione.
Gli zeri della funzione razionale:
sono gli zeri della funzione intera p(x).
Zeri di una funzione razionale.
Per calcolare gli zeri della funzione razionale:
devo risolvere l'equazione
Vicino allo zero, il grafico di una funzione razionale si comporta come il grafico del polinomio al numeratore, p(x).
Il grado del polinomio determina il comportamento della funzione in prossimità dello zero:
Se il polinomio p(x) ha grado pari in corrispondenza dello zero il grafico della funzione tocca l'asse delle ascisse e non cambia il segno.
Se invece il polinomio p(x) ha grado dispari il grafico della funzione razionale nello zero interseca l'asse delle ascisse e cambia il segno.
Due grafici di funzioni razionali, con numeratore di grado pari a sinistra e di grado dispari a destra.
I poli sono i punti in cui il denominatore della funzione razionale si annulla.
Ovvero quando:
Poli della funzione razionale.
I poli della funzione razionale:
sono i punti in cui il denominatore si annulla:
Nei poli la funzione razionale non è definita, perchè dalla definizione di funzione razionale abbiamo visto che deve essere sempre 
.
La funzione ha un asintoto verticale in corrispondenza delle x uguali ai poli. Con l'avvicinarsi della x al polo, il grafico della funzione tende asintoticamente a 
, in modo ascendente o discendente.
Come accennato all'inizio, i poli determinano il dominio 
della funzione razionale. In altre parole, la funzione può essere calcolata per tutte le x dell'insieme dei numeri reali 
meno i valori dei poli.
Scriviamo pertanto:
se 
sono gli n poli della funzione razionale.
Dominio di una funzione razionale.
Il dominio della funzione razionale
è costituto da tutto l'insieme dei numeri reali esclusi i poli della funzione stessa.
Se il grafico di una funzione razionale non ha poli in x=0, allora interseca l'asse delle ordinate in un certo punto T(0, n).
Se si scrivono i polinomi p(x) e q(x) nel seguente formato:
se 
il grafico della funzione razionale interseca l'asse delle ordinate in:
Il valore 
è il valore iniziale della funzione razionale. Quindi il punto in cui il grafico interseca l'asse delle ordinate è 
Valore iniziale della funzione razionale.
Per ottenere il valore iniziale della funzione è sufficiente calcolare f(0).
Se una funzione razionale ha un polo in 
non è definita in questo punto, pertanto non è possibile calcolare la sua intersezione con l'asse delle ordinate f(0).
Ora che sappiamo abbastanza su come disegnare il grafico di una funzione razionale, diamo un'occhiata a ciò che accade alla funzione razionale quando la x è molto grande, sia positiva che negativa, ossia siamo molto lontani dal valore iniziale.
Una funzione razionale è un quoziente di due polinomi p(x) e q(x). Se x tende a 
i due polinomi si comportano come i loro fattori di grado maggiore.
In altre parole, esprimendo i due polinomi come:
quando x tende a si avrà che
si comporta come 
si comporta come 
Pensando al quoziente :
all'infinito si comporta come il quoziente dei fattori di grado maggiore:
Esaminiamo quindi tre diverse opzioni:
il grado del numeratore p(x) è inferiore al grado del denominatore q(x) ;
il grado del numeratore p(x) è uguale a quello del denominatore q(x) ;
il grado del numeratore p(x) è superiore a quello del denominatore q(x).
Se il polinomio q(x) ha grado maggiore rispetto a p(x) esso crescerà più rapidamente all'aumentare di x, quindi per x che tende a q(x) sarà molto maggiore di p(x) e il loro rapporto tenderà a 0.
Comportamento della funzione lontano dal valore iniziale per grado p(x) < grado q(x).
Quando il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore, la funzione razionale a si avvicina all'asintoto orizzontale 
, cioè l'asse delle ascisse.
Per i polinomi
applichiamo 
.
Vediamo il quoziente di queste due polinomi.
I valori di tutti i fattori
ad eccezione dei termini noti 
e 
, decrescono man mano che x si avvicina a .
Comportamento della funzione lontano dal valore iniziale, con grado p(x) = grado q(x).
Il grafico della funzione razionale, lontano dal valore iniziale, tende all'asintoto orizzontale 
, cioè al rapporto tra i coefficienti dei termini con il massimo esponente.
Nel caso in cui il grado del numeratore è superiore a quello del denominatore delle funzioni razionali, divido il polinomio p(x) per il polinomio q(x).
Il quoziente polinomiale k(x) e il resto polinomiale r(x) hanno gradi inferiori rispetto al divisore q(x). Il polinomio p(x), quindi, può essere scritto come segue:
Dividendo tutto per il polinomio q(x), si ottiene la seguente equazione:
Perciò esprimiamo la funzione razionale come:
Si ricava allora che per x molto grande la funzione ha il comportamento di k(x), dato che il grado maggiore di q(x) nel quoziente 
lo fa tendere a 0.
Comportamento della funzione lontano dal valore iniziale, con grado p(x) > grado q(x).
Il polinomio quoziente k(x), ottenuto dividendo il polinomio p(x) per il polinomio q(x), approssima bene il grafico di tutta la funzione razionale lontano dal valore iniziale.
Asintoto obliquo.
Se la funzione razionale tende ad una retta che non è nè un asintoto orizzontale nè verticale, quella retta si definisce asintoto obliquo.
