In questo capitolo tratteremo delle funzioni esponenziali che descrivono ad esempio i processi di crescita di una colonia di batteri o il processo di decadimento di un elemento radioattivo.
Definizione: una funzione esponenziale è rappresentata da qualunque funzione nella quale la variabile x compare come esponente di una base a positiva e diversa da 1:
La funzione esponenziale non deve essere confusa con la funzione potenza, in cui la variabile x è elevata ad un determinato esponente.
Esempio di funzione potenza:
A seconda del valore della base, le funzioni esponenziali possono essere suddivise in due grandi famiglie:
Base maggiore di 1:
Base compresa tra 0 e 1:
La differenza tra le due famiglie di funzioni esponenziali sta nel fatto che, se moltiplichiamo tra loro due numeri maggiori di 1, il prodotto sarà un numero più grande dei due numeri, mentre se moltiplichiamo tra loro due numeri compresi tra 0 e 1, il prodotto sarà un numero più piccolo dei due numeri.
Vediamo che relazione esiste tra i due tipi di funzione esponenziale. Posta come condizione che sia a > 1, consideriamo le funzioni:
e
Perché la base sia maggiore di 1, riscriviamo la funzione f(x) nel modo seguente:
Date le due funzioni:
con a > 1. Vale la seguente relazione:
da cui ne consegue che i grafici sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate (vedere il grafico dell'esempio seguente).
Dalla forma di una funzione esponenziale dipendono le sue proprietà e l'aspetto del suo grafico. Possiamo considerare due forme di funzione esponenziale, una forma canonica e una forma generale.
Sulla base delle loro proprietà comuni, possiamo definire la forma di funzioni esponenziali del tipo:
come forma canonica delle funzioni esponenziali. Si tratta di funzioni in cui la potenza non è moltiplicata per una costante e che non contengono un termine noto.
Vediamo il grafico di due funzioni esponenziali in forma canonica, considerando un primo esempio con la base maggiore di 1 e un secondo esempio con la base compresa tra 0 e 1.
Adesso possiamo confrontare i grafici e le proprietà delle due funzioni. Entrambe le funzioni:
hanno stesso dominio, codominio e stesso limite inferiore
non sono né pari né dispari
passano per il punto (0, 1)
sono biiettive.
La prima funzione è tuttavia crescente e la seconda decrescente.
La forma generale di una funzione esponenziale è la seguente:
dove A determina l'espansione o la contrazione della curva lungo l'asse y (più grande è A, tanto più si spostano in alto i valori delle ordinate e viceversa), il valore di b determina lo spostamento della curva lungo l'asse x e il valore del termine noto c determina lo spostamento del grafico lungo l'asse y.
Se b < 0 il grafico si sposta di b unità verso sinistra, se b > 0 il grafico si sposta di b unità verso destra.
Se c < 0 il grafico si sposta di c unità verso il basso, se c > 0 il grafico si sposta di c unità verso l'alto.
Le proprietà delle funzioni esponenziali nella forma generale non sono le stesse delle funzioni esponenziali in forma canonica. Confrontiamo le proprietà delle due forme con degli esempi.
Come possiamo vedere, rispetto al grafico della forma canonica, la curva della funzione esponenziale in forma generale che abbiamo considerato presenta non solo un diverso limite inferiore, ma non passa nemmeno per il punto (0, 1).
Alla famiglia delle funzioni esponenziali con base > 0 appartiene un tipo particolare di funzione esponenziale:
dove:
è un numero naturale (appartenente all'insieme dei numeri irrazionali). La funzione 
è una funzione esponenziale in base naturale.
La funzione esponenziale in base naturale è particolarmente importante nel campo della fisica dove viene utilizzata per descrivere fenomeni naturali come il decadimento degli elementi radioattivi.
Grafico della funzione esponenziale in base naturale:
Poiché le proprietà delle funzioni esponenziali sono diverse a seconda che la base sia maggiore di 1 o compresa tra 0 e 1, vedremo separatamente i due casi. Maggiore enfasi sarà data alle funzioni esponenziali in forma canonica perché queste hanno caratteristiche comuni, indipendentemente dal valore della base a.
Le proprietà delle funzioni esponenziali sono più semplici da capire se ne disegniamo e confrontiamo i grafici scegliendo diversi valori della base.
Le funzioni esponenziali con base maggiore di 1 sono definite in tutto l'insieme dei numeri reali:
I valori assunti dalla funzione appartengono all'insieme dei numeri reali positivi:
Dal grafico possiamo facilmente vedere che le funzioni esponenziali con base a> 1 sono crescenti in tutto il loro campo di esistenza. Sappiamo che una funzione è strettamente crescente se:
Le funzioni esponenziali con base a > 1 sono strettamente crescenti poiché per ogni coppia di valori:
vale
Possiamo anche notare dal grafico precedente che quanto maggiore è il valore di a, tanto più velocemente cresce la curva.
Consideriamo le seguenti funzioni esponenziali con stessa base a > 1:
Disegniamone i grafici:
Come possiamo vedere, per x che tende a meno infinito, entrambe le funzioni presentano un limite inferiore, ovvero si avvicinano ad un asintoto orizzontale. L'unica differenza è che tale asintoto varia in base al valore del termine noto della funzione esponenziale.
Per la funzione che non ha un termine noto (ovvero in cui il termine noto è 0), l'asintoto orizzontale è dato dall'asse delle ascisse:
mentre per la funzione che ha come termine noto 1, l'asintoto orizzontale è dato dalla retta:
Possiamo dedurre che per le funzioni esponenziali in forma canonica, l'asintoto orizzontale è sempre rappresentato dall'asse delle ascisse.
Quando invece x tende a più infinito, come possiamo vedere dal grafico, la funzione aumenta esponenzialmente verso l'infinito, per cui non possiede un limite.
In generale, una funzione esponenziale è limitata inferiormente da un asintoto orizzontale corrispondente al suo termine noto, mentre non è mai limitata superiormente.
Ricordiamo che:
una funzione si dice iniettiva se ad ogni x distinta del dominio corrisponde una y distinta nel codominio.
una funzione si dice suriettiva se ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un elemento x del dominio.
Una funzione è biiettiva, se è allo stesso tempo sia iniettiva che suriettiva.
Le funzioni esponenziali sono biiettive e quindi invertibili (ovvero esiste la funzione inversa che è rappresentata dalla funzione logaritmica).
Tutte le funzioni esponenziali in forma canonica intersecano l'asse delle ordinate in uno stesso punto che è il punto di coordinate (0, 1).
Nel caso delle funzioni esponenziali in forma generale, il relativo grafico non passa per il punto (0, 1).
Una funzione esponenziale 
non è pari perché:
Una funzione esponenziale non è dispari perché:
Come nella sezione precedente, considereremo anche qui diversi esempi in modo da descrivere più facilmente le proprietà di questa famiglia di funzioni esponenziali. Maggiore enfasi sarà data alle funzioni esponenziali in forma canonica perché queste hanno caratteristiche comuni, indipendentemente dal valore della base a.
Le funzioni esponenziali con base compresa tra 0 e 1 sono definite in tutto l'insieme dei numeri reali:
I valori assunti dalla funzione appartengono all'insieme dei numeri reali positivi:
Dal grafico possiamo facilmente vedere che le funzioni esponenziali con base 0 < a < 1 sono decrescenti in tutto il loro campo di esistenza. Sappiamo che una funzione è strettamente decrescente se:
Le funzioni esponenziali con base 0 < a < 1, sono strettamente decrescenti poiché per ogni coppia di valori:
vale
Possiamo anche notare dal grafico precedente che quanto maggiore è il valore di a, tanto più lentamente decresce la curva.
Consideriamo le seguenti funzioni esponenziali con stessa base 0 < a < 1:
Disegniamone i grafici:
Come possiamo vedere, per x che tende a più infinito, entrambe le funzioni presentano un limite inferiore, ovvero si avvicinano ad un asintoto orizzontale. L'unica differenza è che tale asintoto varia in base al valore del termine noto della funzione esponenziale.
Per la funzione che non ha un termine noto (ovvero in cui il termine noto è 0), l'asintoto orizzontale è dato dall'asse delle ascisse:
mentre per la funzione che ha come termine noto 1, l'asintoto orizzontale è dato dalla retta:
Possiamo dedurre che per le funzioni esponenziali in forma canonica, l'asintoto orizzontale è sempre rappresentato dall'asse delle ascisse.
Quando invece x tende a meno infinito, come possiamo vedere dal grafico, la funzione aumenta esponenzialmente verso l'infinito, per cui non possiede un limite.
In generale, una funzione esponenziale è limitata inferiormente da un asintoto orizzontale corrispondente al suo termine noto, mentre non è mai limitata superiormente.
Anche le funzioni esponenziali con base compresa tra 0 e 1 sono biiettive e pertanto vale quanto affermato per le funzioni esponenziali con base maggiore di 1.
Tutte le funzioni esponenziali in forma canonica intersecano l'asse delle ordinate in uno stesso punto che è il punto di coordinate (0, 1).
Nel caso delle funzioni esponenziali in forma generale, il relativo grafico non passa per il punto (0, 1).
Una funzione esponenziale non è pari perché:
Una funzione esponenziale non è dispari perché:
