Immaginiamo una funzione continua come una curva che possiamo disegnare sul piano cartesiano senza staccare la matita dal foglio.
Diamo una definizione matematica a quanto anticipato sopra.
Definizione di funzione continua in un punto.
Data una funzione di variabile reale 
e un punto 
nel dominio, diciamo che la funzione è continua in se:
Cioè se il limite della funzione nel punto coincide con la funzione valutata in quello stesso punto.
La funzione ha limite ed è continua in
Osserviamo sotto un caso in cui la definizione non è soddisfatta, ovvero in cui troviamo un punto in cui la funzione non è continua. Il limite della funzione in esiste ma è diverso dal valore della funzione valutata in quel punto. Infatti nel punto di ascissa la funzione è spezzata e ha valore A.
La funzione ha un limite diverso dal suo valore in
Definizione di funzione continua in un intervallo.
Una funzione 
si dice continua in un intervallo 
se è continua in ogni punto dell'intervallo.
Conosciamo già il concetto di limite. Vediamo ora quello di limite sinistro e limite destro.
Se la 
tende a 
dalla parte sinistra, parliamo di limite sinistro.
Il limite sinistro si rappresenta così: 
Diciamo che il limite sinistro della funzione in è il valore numerico A, o meglio che
se, per ogni valore 
, esiste un 
tale che per ogni 
, con 
, risulta che 
Questo significa che comunque scegliamo una distanza 
sulle ordinate, esiste una distanza 
sulle ascisse legata ad essa tale che avvicinandoci a da sinistra di una distanza più piccola di , la funzione disterà meno di dal suo valore in quel punto (
).
Chiariamo la definizione matematica con un disegno. Guardando il grafico sottostante, si vede che avvicinandosi a da sinistra, la funzione si avvicina al valore 
Pertanto il limite sinistro in è pari ad
Limite sinistro: x si avvicina da sinistra
Se la va a dalla parte destra, parliamo di limite destro.
Il limite destro si rappresenta così: 
Diciamo che il limite destro della funzione in è il valore numerico A, o meglio che
se, per ogni valore , esiste un tale che per ogni , con 
, risulta che
Questo significa che comunque scegliamo una distanza sulle ordinate, esiste una distanza sulle ascisse legata ad essa tale che avvicinandoci a da destra di una distanza più piccola di , la funzione disterà meno di dal suo valore in quel punto ().
Chiariamo la definizione matematica con un disegno. Guardando il grafico sottostante, si vede che avvicinandosi a da destra, la funzione si avvicina al valore Pertanto il limite destra in è pari ad
Limite destro: x si avvicina da destra
Perché il limite di una funzione in un punto sia definito, limite destro e limite sinistro devono esistere e coincidere.
Sia definita in un intorno di . Il limite della funzione in esiste se esistono e sono uguali il limite destro e il limite sinistro:
Avvicinandosi a 
da destra o da sinistra, vediamo che i valori della funzione si avvicinano allo stesso valore (limite sinistro e destro sono gli stessi, quindi esiste il limite).
Possiamo avere punti di discontinuità quando una funzione è data da due funzioni differenti.
Prendiamo per esempio la funzione segno, che è definita come:
Tale funzione è definita ovunque, ma nel punto 0 non è continua, il grafico si interrompe.
Alcuni funzioni continue, lo sono in tutto l'asse reale; eccole:
Funzione costante:
Funzione lineare:
Funzione quadratica:
Funzione potenza con esponente naturale:
Funzione polinomiale:
Funzione esponenziale:
Funzione logaritmica:
Funzione seno:
Funzione coseno:
Di seguito vedremo alcune caratteristiche e proprietà delle funzioni continue.
Siano e 
funzioni continue in un punto a. Allora:
la loro somma (differenza) 
è una funzione continua nel punto a e vale la seguente regola:
il loro prodotto 
è una funzione continua nel punto a e vale la seguente regola:
se g(a) è sempre diverso da zero, il loro quoziente 
è una funzione continua nel punto a e vale la seguente regola:
Vediamo altre proprietà e teoremi sulle funzioni continue.
Se la funzione è continua e crescente, la sua funzione inversa 
è anch'essa continua e crescente.
Teorema della permanenza del segno. Una funzione continua in un intervallo chiuso, che non si annulla mai in tale intervallo, ha segno costante in tutto l'intervallo (sempre positiva o sempre negativa).
Teorema degli zeri. Se la funzione è continua nell'intervallo chiuso 
e assume valori di segno opposto agli estremi, allora in questo intervallo esiste almeno uno zero (cioè un punto in cui la funzione si annulla).
Se una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha un limite superiore 
e un limite inferiore 
, allora assume tutti i valori intermedi compresi tra i due limiti superiore e inferiore.
