Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

Consideriamo un'equazione di secondo grado o equazione quadratica in una sola variabile x ridotta in forma normale:

La formula risolutiva per ottenere le soluzioni dell'equazione è:

Vediamo come si ottiene la formula suddetta:

Il binomio al di sotto della radice quadrata nella formula risolutiva di un'equazione di secondo grado viene denominato discriminante ed è solitamente rappresentato dalla lettera greca delta:

Si chiama discriminante poiché le possibili soluzioni dell'equazione quadratica dipendono da esso. Si possono verificare infatti tre casi:

Analizziamo nel dettaglio la risoluzione delle equazioni di secondo grado in base ai valori assunti dal delta.

Data l'equazione:

Il discriminante è

l'equazione avrà due soluzioni reali che si possono calcolare con le formule:

Se il discriminante è:

Essendo il delta nullo, la formula si semplifica nel seguente modo.

Abbiamo un'unica soluzione (detto in un altro modo, le due soluzioni sono coincidenti)

Come abbiamo visto, se il discriminante è:

non abbiamo soluzioni reali, ovvero:

Se b è un numero divisibile per 2, come si può facilmente dimostrare, la formula vista in precedenza si può semplificare come segue, ponendo :

e se , si può semplificare ulteriormente nel seguente modo:

Considerata un'equazione di secondo grado:

con discriminante:

sappiamo che le due radici reali (distinte o coincidenti) saranno calcolate nel seguente modo:

Pertanto la somma delle radici sarà:

ovvero:

Il prodotto delle radici invece sarà:

ovvero:

Abbiamo finora visto il caso in cui:

Tale equazione si dice completa perché nessuno dei suoi tre coefficienti è nullo. Tuttavia si possono verificare anche casi in cui il coefficiente b, il coefficiente c o entrambi siano nulli e in quel caso otteniamo delle equazioni di secondo grado di diverso tipo:

L'equazione monomia si presenta nella forma:

con .

E' chiaro che l'unico valore di x che annulla il primo membro è zero, pertanto l'unica soluzione di questa equazione è:

L'equazione spuria si presenta nella forma:

con .

Per risolvere l'equazione, mettiamo in evidenza il fattore comune ai due monomi, ovvero x:

Perché l'uguaglianza sia valida, deve verificarsi una delle seguenti condizioni, o entrambe:

La seconda condizione è un'equazione di primo grado che avrà come sola radice:

Dunque un'equazione spuria avrà sempre due radici distinte, di cui una è nulla:

L'equazione pura si presenta nella forma:

con .

Per risolvere l'equazione, portiamo il termine noto al secondo membro e poi dividiamo entrambi i membri per a:

Si tratta ora di trovare quel numero reale che elevato al quadrato dia come risultato .

Possono verificarsi due condizioni:

Per non esistono soluzioni reali:

ovvero non esiste alcun numero reale il cui quadrato dia un numero negativo.

Per esistono due soluzioni reali distinte:

ovvero esistono due numeri reali, tra loro opposti, che elevati al quadrato danno come risultato