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Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado



Consideriamo un'equazione di secondo grado o equazione quadratica in una sola variabile x ridotta in forma normale:






La formula risolutiva per ottenere le soluzioni dell'equazione è:






Vediamo come si ottiene la formula suddetta:




Calcolo del Delta di un'equazione di secondo grado



Il binomio al di sotto della radice quadrata nella formula risolutiva di un'equazione di secondo grado viene denominato discriminante ed è solitamente rappresentato dalla lettera greca delta:




Si chiama discriminante poiché le possibili soluzioni dell'equazione quadratica dipendono da esso. Si possono verificare infatti tre casi:


  • : l'equazione ha due soluzioni reali e distinte


  • : l'equazione ha una sola soluzione reale


  • : l'equazione non ha soluzioni reali



Analizziamo nel dettaglio la risoluzione delle equazioni di secondo grado in base ai valori assunti dal delta.


Delta positivo; due soluzioni reali



Data l'equazione:




Il discriminante è






l'equazione avrà due soluzioni reali che si possono calcolare con le formule:






Esempio

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Delta uguale a zero; una soluzione reale



Se il discriminante è:




Essendo il delta nullo, la formula si semplifica nel seguente modo.








Abbiamo un'unica soluzione (detto in un altro modo, le due soluzioni sono coincidenti)


Esempio

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Delta negativo; nessuna soluzione reale



Come abbiamo visto, se il discriminante è:




non abbiamo soluzioni reali, ovvero:




Formula risolutiva ridotta





Se b è un numero divisibile per 2, come si può facilmente dimostrare, la formula vista in precedenza si può semplificare come segue, ponendo :




e se , si può semplificare ulteriormente nel seguente modo:





Esempio

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Somma e prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado



Considerata un'equazione di secondo grado:




con discriminante:




sappiamo che le due radici reali (distinte o coincidenti) saranno calcolate nel seguente modo:






Pertanto la somma delle radici sarà:




ovvero:





Il prodotto delle radici invece sarà:




ovvero:





Esempio

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Altri tipi di equazioni di secondo grado



Abbiamo finora visto il caso in cui:






Tale equazione si dice completa perché nessuno dei suoi tre coefficienti è nullo. Tuttavia si possono verificare anche casi in cui il coefficiente b, il coefficiente c o entrambi siano nulli e in quel caso otteniamo delle equazioni di secondo grado di diverso tipo:



Equazione monomia



L'equazione monomia si presenta nella forma:




con .


E' chiaro che l'unico valore di x che annulla il primo membro è zero, pertanto l'unica soluzione di questa equazione è:





Equazione spuria



L'equazione spuria si presenta nella forma:




con .


Per risolvere l'equazione, mettiamo in evidenza il fattore comune ai due monomi, ovvero x:




Perché l'uguaglianza sia valida, deve verificarsi una delle seguenti condizioni, o entrambe:





La seconda condizione è un'equazione di primo grado che avrà come sola radice:




Dunque un'equazione spuria avrà sempre due radici distinte, di cui una è nulla:






Esempio

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Equazione pura



L'equazione pura si presenta nella forma:




con .


Per risolvere l'equazione, portiamo il termine noto al secondo membro e poi dividiamo entrambi i membri per a:




Si tratta ora di trovare quel numero reale che elevato al quadrato dia come risultato .


Possono verificarsi due condizioni:


Per non esistono soluzioni reali:




ovvero non esiste alcun numero reale il cui quadrato dia un numero negativo.


Per esistono due soluzioni reali distinte:






ovvero esistono due numeri reali, tra loro opposti, che elevati al quadrato danno come risultato


Esempio

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Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese