Nei capitoli precedenti abbiamo visto come è possibile rappresentare un numero complesso in un piano cartesiano in cui in ascissa ed in ordinata si pongono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso. Tale rappresentazione è chiamata geometrica. Le altre due rappresentazioni di cui parleremo sono la forma trigonometrica e la forma esponenziale.
Un numero complesso 
si può rappresentare graficamente utilizzando le coordinate polari attraverso il modulo
e l'argomento (o anomalia)
.
rappresenta la lunghezza del segmento OP
rappresenta l'angolo tra l'asse delle ascisse ed il segmento OP (calcolato in senso antiorario)
La forma trigonometrica con cui si esprime un numero complesso è la seguente:
dove, in particolare si ha:
Le ultime due formule possono essere scritte in forma compatta come:
Queste sono le formule che permettono di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. Per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica:
Nella forma trigonometrica l'argomento si può esprimere in gradi oppure in radianti. Se, ad esempio, conosciamo l'angolo in gradi (30°), la formula per passare ai radianti è:
da cui si otterrebbe 
Se, invece, conosciamo l'angolo in radianti (
), la formula per passare ai gradi è:
da cui si otterrebbe 
Analogamente alla rappresentazione in forma algebrica, nella forma trigonometrica è possibile definire le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza; inoltre è possibile calcolare la radice n-ma. Prima di vedere una per una le operazioni, introduciamo il concetto di reciproco di un numero complesso espresso in forma trigonometrica
Dato il numero complesso 
, il suo reciproco 
ha come modulo il reciproco del modulo del numero dato e come argomento l'opposto dell'argomento del numero considerato
In formule:
Il prodotto tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei fattori e per argomento la somma degli argomenti dei fattori.
La regola vale anche nel caso di moltiplicazione di tre o più numeri complessi espressi in forma trigonometrica.
In generale, quindi, il modulo si otterrà moltiplicando i moduli di tutti i fattori, mentre l'argomento si otterrà sommando tutti gli argomenti dei fattori.
La divisione tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica, di cui il secondo diverso da zero, è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri e per argomento la differenza degli argomenti del dividendo e del divisore.
Effettuare la potenza vuol dire applicare per 
volte la proprietà del prodotto di un numero complesso per sè stesso.
Si perviene alla cosiddetta Formula di Moivre:
La Formula di Moivre si può applicare anche nel caso di esponente negativo. In tal caso la formula diventa:
Dato un numero complesso 
e un numero positivo intero , si chiama radice n-ma di z ogni numero complesso 
tale che:
Se il numero complesso è espresso nella forma trigonometrica 
, allora esso ammette n radici ennesime che si ottengono dalla seguente formula:
nella quale si pone, via via, 
Per definire la forma esponenziale occorre introdurre una importante funzione della variabile complessa, cioè la funzione esponenziale.
Se consideriamo la variabile complessa 
, per definizione si ha:
Se si pone 
si ottiene la prima formula di Eulero:
A questo punto passiamo a definire la forma esponenziale dei numeri complessi.
Dato il numero complesso , applicando la prima formula di Eulero, si ottiene la forma esponenziale:
Sostituendo al posto di il valore 
, si ottiene la seconda formula di Eulero:
Combinando, infine, la prima e seconda formula di Eulero si ottengono la terza e quarta formula di Eulero:
E' bene specificare che tutte le proprietà delle funzioni esponenziali si applicano anche al caso della forma esponenziale dei numeri complessi.
