Forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi

Nei capitoli precedenti abbiamo visto come è possibile rappresentare un numero complesso in un piano cartesiano in cui in ascissa ed in ordinata si pongono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso. Tale rappresentazione è chiamata geometrica. Le altre due rappresentazioni di cui parleremo sono la forma trigonometrica e la forma esponenziale.

Un numero complesso si può rappresentare graficamente utilizzando le coordinate polari attraverso il modulo e l'argomento (o anomalia).

rappresenta la lunghezza del segmento OP

rappresenta l'angolo tra l'asse delle ascisse ed il segmento OP (calcolato in senso antiorario)

La forma trigonometrica con cui si esprime un numero complesso è la seguente:

dove, in particolare si ha:

Le ultime due formule possono essere scritte in forma compatta come:

Queste sono le formule che permettono di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. Per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica:

Analogamente alla rappresentazione in forma algebrica, nella forma trigonometrica è possibile definire le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza; inoltre è possibile calcolare la radice n-ma. Prima di vedere una per una le operazioni, introduciamo il concetto di reciproco di un numero complesso espresso in forma trigonometrica

Dato il numero complesso , il suo reciproco ha come modulo il reciproco del modulo del numero dato e come argomento l'opposto dell'argomento del numero considerato

In formule:

Il prodotto tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei fattori e per argomento la somma degli argomenti dei fattori.

La divisione tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica, di cui il secondo diverso da zero, è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri e per argomento la differenza degli argomenti del dividendo e del divisore.

Effettuare la potenza vuol dire applicare per volte la proprietà del prodotto di un numero complesso per sè stesso.

Si perviene alla cosiddetta Formula di Moivre:

Dato un numero complesso e un numero positivo intero , si chiama radice n-ma di z ogni numero complesso tale che:

Se il numero complesso è espresso nella forma trigonometrica , allora esso ammette n radici ennesime che si ottengono dalla seguente formula:

nella quale si pone, via via,

Per definire la forma esponenziale occorre introdurre una importante funzione della variabile complessa, cioè la funzione esponenziale.

Se consideriamo la variabile complessa , per definizione si ha:

Se si pone si ottiene la prima formula di Eulero:

A questo punto passiamo a definire la forma esponenziale dei numeri complessi.

Dato il numero complesso , applicando la prima formula di Eulero, si ottiene la forma esponenziale:

Sostituendo al posto di il valore , si ottiene la seconda formula di Eulero:

Combinando, infine, la prima e seconda formula di Eulero si ottengono la terza e quarta formula di Eulero: