Rappresentazione dei numeri complessi fb
 

Forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi



Nei capitoli precedenti abbiamo visto come è possibile rappresentare un numero complesso in un piano cartesiano in cui in ascissa ed in ordinata si pongono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso. Tale rappresentazione è chiamata geometrica. Le altre due rappresentazioni di cui parleremo sono la forma trigonometrica e la forma esponenziale.


Forma trigonometrica dei numeri complessi



Un numero complesso si può rappresentare graficamente utilizzando le coordinate polari attraverso il modulo e l'argomento (o anomalia).


rappresenta la lunghezza del segmento OP

rappresenta l'angolo tra l'asse delle ascisse ed il segmento OP (calcolato in senso antiorario)




La forma trigonometrica con cui si esprime un numero complesso è la seguente:




dove, in particolare si ha:








Le ultime due formule possono essere scritte in forma compatta come:




Queste sono le formule che permettono di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. Per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica:





Nella forma trigonometrica l'argomento si può esprimere in gradi oppure in radianti. Se, ad esempio, conosciamo l'angolo in gradi (30°), la formula per passare ai radianti è:


da cui si otterrebbe


Se, invece, conosciamo l'angolo in radianti (), la formula per passare ai gradi è:


da cui si otterrebbe



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Operazioni tra numeri complessi espressi in forma trigonometrica



Analogamente alla rappresentazione in forma algebrica, nella forma trigonometrica è possibile definire le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza; inoltre è possibile calcolare la radice n-ma. Prima di vedere una per una le operazioni, introduciamo il concetto di reciproco di un numero complesso espresso in forma trigonometrica


Dato il numero complesso , il suo reciproco ha come modulo il reciproco del modulo del numero dato e come argomento l'opposto dell'argomento del numero considerato


In formule:




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Moltiplicazione



Il prodotto tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei fattori e per argomento la somma degli argomenti dei fattori.


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La regola vale anche nel caso di moltiplicazione di tre o più numeri complessi espressi in forma trigonometrica.

In generale, quindi, il modulo si otterrà moltiplicando i moduli di tutti i fattori, mentre l'argomento si otterrà sommando tutti gli argomenti dei fattori.



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Divisione



La divisione tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica, di cui il secondo diverso da zero, è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri e per argomento la differenza degli argomenti del dividendo e del divisore.


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Potenza



Effettuare la potenza vuol dire applicare per volte la proprietà del prodotto di un numero complesso per sè stesso.


Si perviene alla cosiddetta Formula di Moivre:




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La Formula di Moivre si può applicare anche nel caso di esponente negativo. In tal caso la formula diventa:




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Radice n-ma



Dato un numero complesso e un numero positivo intero , si chiama radice n-ma di z ogni numero complesso tale che:




Se il numero complesso è espresso nella forma trigonometrica , allora esso ammette n radici ennesime che si ottengono dalla seguente formula:




nella quale si pone, via via,


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Forma esponenziale dei numeri complessi



Per definire la forma esponenziale occorre introdurre una importante funzione della variabile complessa, cioè la funzione esponenziale.


Se consideriamo la variabile complessa , per definizione si ha:




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Se si pone si ottiene la prima formula di Eulero:




A questo punto passiamo a definire la forma esponenziale dei numeri complessi.


Dato il numero complesso , applicando la prima formula di Eulero, si ottiene la forma esponenziale:




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Sostituendo al posto di il valore , si ottiene la seconda formula di Eulero:




Combinando, infine, la prima e seconda formula di Eulero si ottengono la terza e quarta formula di Eulero:






E' bene specificare che tutte le proprietà delle funzioni esponenziali si applicano anche al caso della forma esponenziale dei numeri complessi.



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Autore principale e redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto