Si consideri una botte riempita d'acqua, la cui pressione sul fondo sia di poco inferiore a quella limite di sopportazione della botte stessa. Se al di sopra della botte (naturalmente chiusa) si pone un tubo sottile e lo si riempie progressivamente d'acqua, raggiunta una quota limite la pressione del fluido provoca la rottura della botte. Ponendo tubi di diametri sempre maggiori e di svariate forme, si noterà che la botte non arriverà a rompersi se non quando il fluido raggiunge la quota limite precedentemente determinata.
Figura 1: La botte di Pascal
Il paradosso (detto anche botte di Pascal) consiste nel fatto che, nonostante si immettano quantità d'acqua dal peso sempre maggiore, la quota limite di fluido a cui corrisponde la rottura della botte è sempre la stessa indipendentemente da quanto è grande il tubo.
Possiamo comprendere come agisce la pressione in un fluido, pensando a un tubetto di dentifricio. Empiricamente sappiamo che per far uscire il dentifricio possiamo fare pressione in un punto qualsiasi del tubetto. La pressione esercitata in tale punto si propaga infatti inalterata fino all'apertura del tubetto.
Questo fenomeno è una manifestazione di un principio fondamentale per lo studio dei fluidi, detto principio di Pascal. In termini più generali possiamo dire:
Se applichiamo una pressione in un certo punto del fluido, questa si propaga inalterata in ogni direzione.
Figura 2: Principio di Pascal
Esiste un'applicazione importantissima del principio di Pascal: il freno idraulico.
Figura 3: freno idraulico
Il sistema mostrato in figura 3 rappresenta un freno idraulico. Ci sono due cilindri uno con superficie di base 
su cui è applicata una forza 
e un altro con superficie di base 
la cui forza applicata su essa è 
.
Per il principio di Pascal la pressione agente sulla prima superficie è uguale a quella sulla seconda:
Notiamo quindi che imprimendo una certa forza sul primo cilindretto, la forza fatta dalla parete del secondo cilindro è direttamente proporzionale alla superficie di quest'ultima. Dunque possiamo avere una forza enorme con un piccolo sforzo!
Vogliamo calcolare la pressione causata dal peso di un liquido, consideriamo così una porzione cilindrica di fluido con superficie di base S e altezza h (vedi figura 4).
Figura 4: Peso di una colonna di fluido
La pressione p agente sulla superficie in basso, è dato dal rapporto fra la forza agente sulla superficie (che in questo caso è la forza peso del cilindro) e la superficie stessa, cioè:
Se sulla superficie esterna c'è una pressione 
, la pressione all'interno del liquido è:
In un liquido di densità 
, la pressione aumenta con la profondità:
La legge di Stevino permette di studiare come si comportano i liquidi contenuti in vasi comunicanti, cioè recipienti di forma qualsiasi collegati tramite tubi.
Figura 5: I vasi comunicanti
Vediamo la figura 5, consideriamo che i recipienti riempi con fluidi di densità 
, 
e 
, e alla base di ogni recipiente abbiamo rispettivamente le pressioni 
, 
e 
. Il fluido è fermo poichè siamo in condizioni di equilibrio. Consideriamo la superficie S di separazione tra i due fluidi. Per far sì che sia ferma, su di essa devono agire forze uguali e opposte. Per essere uguali le pressioni dei due recipienti devono essere uguali, cioè:
Le altezze dei due cilindri, in condizioni di equilibrio, devono essere uguali.
Dati due vasi comunicanti, in condizioni di equilibrio, riempiti ciascuno con fluidi diversi, l'altezza rispetto alla superficie in cui si incontrano i due fluidi è data dall'equazione:
nel caso il fluido all'interno dei vasi è lo stesso, allora:
Il fisico italiano Evangelista Torricelli eseguì un importantissimo esperimento che permise di calcolare la pressione dell'atmosfera (di seguito i passaggi dell'esperimento):
Si prende un tubo lungo circa 1 m, di diametro circa 1 cm e sigillato a un'estremità;
Si versa all'interno del tubo del mercurio;
Si pone in una bacinella tenendo l'apertura verso il basso;
si fa fluire il mercurio dal tubo;
quando il mercurio raggiunge l'altezza di 76 cm (rispetto al livello del mercurio della vaschetta), si ferma.
Analizziamo cosa è accaduto. Quando abbiamo fatto fluire il mercurio dal tubo versandolo nella vasca si è venuto a formare un sistema di vasi comunicanti (vedi figura 6). Non c'è pressione esercitata sul mercurio all'interno del tubo, a differenza del mercurio nella vaschetta su cui agisce la pressione atmosferica.
Figura 6: Esperimento di Torricelli
Dallo studio dei vasi comunicanti sappiamo che, in uno stato di equilibrio, le pressioni agenti sulla superficie di separazione (scegliamo, dato che il liquido è lo stesso, la superficie di separazione tra il tubo e la vaschetta) devono essere uguali, cioè:
La pressione del mercurio è, dalla legge di Stevino:
Quindi:
L'altezza della colonnina di mercurio è stata misurata ed è 
, mentre la densità è 
, quindi:
La pressione atmosferica è:
Per la misura della pressione atmosferica si usa solitamente un'altra unità di misura per comodità, detta appunto atmosfera atm:
Si racconta che il tiranno Gerone II chiese ad Archimede di aiutarlo a verificare uno sgradevole sospetto. Il sovrano, per celebrare un successo, aveva commissionato ad un orefice una corona d'oro fornendogli per questo un certo quantitativo del prezioso metallo, ma nonostante la corona pesasse quanto si aspettava, aveva il dubbio che parte dell'oro fosse stata sostituita con un uguale peso di metallo meno prezioso (argento o rame).
Archimede aveva capito che due materiali diversi, aventi lo stesso peso ma necessariamente due volumi diversi ricevono diverse spinte se immersi nell'acqua. Appese così ad una bilancia la corona ad un braccio, e all'altro braccio un lingotto di oro puro con peso pari a quello della corona. La bilancia era ovviamente in equilibrio. I due oggetti vennero allora immersi in acqua e la bilancia non fu più in equilibrio.
La corona era in parte composta da metallo più vile che era stato aggiunto in ugual peso ma in maggior volume e quindi in totale la corona aveva maggior volume del lingotto d'oro. La corona riceveva pertanto una spinta maggiore e la bilancia si spostò dalla parte dell'oro denunciando la frode.
Figura 7: Un oggetto immerso in un fluido
Cerchiamo ora di dare una spiegazione matematica del fenomeno. Procediamo come segue:
Consideriamo un fluido di densità in un recipiente. Al suo interno delimitiamo una porzione dello stesso (vedi Figura 7-1). Su questa porzione di fluido agiscono:
le forze esercitate dal fluido sulla sua superficie che hanno come risultante 
diretta verso l'alto (vedi figura 7);
la forza peso 
diretta verso il basso.
Essendo una porzione dello stesso liquido, esso è fermo e quindi le forze sono in equilibrio. Possiamo togliere il vettore dato che le forze sono sulla stessa direzione, scegliamo come verso positivo quello verso l'alto:
Ora sostituiamo quella porzione di fluido con un corpo della stessa forma con densità 
diversa (e massa 
) (vedi figura 7-2). Su di esso agiscono sempre le due forze:
, che rimane la stessa poichè essa dipende solamente dal volume e dalla forma dell'oggetto;
la forza peso 
invece varia perchè varia la densità.
In questo caso, le due forze non si eguagliano, quindi c'è movimento:
In base al rapporto fra le densità varia il segno dell'accelerazione e quindi se il corpo galleggia o affonda:
se 
cioè se 
, l'accelerazione è negativa e quindi il corpo affonda;
se 
cioè se 
, l'accelerazione è positiva e quindi il corpo galleggia.
In ambedue i casi si può dire che:
Il corpo riceve una spinta verso l'alto, detta spinta di Archimede 
(che altro non è che la risultante delle forze di superficie), pari alla forza peso del volume di fluido spostato:
Ora immaginiamo un caso come quello in figura 8.
Figura 8: Un corpo galleggia su un fluido
Il corpo ha un volume V e una densità . La densità del fluido invece è . Il blocchetto è in equilibrio, quindi la risultante delle forze agenti è nulla, e vogliamo sapere quanto vale il volume immerso 
.
Analizziamo le forze che agiscono sul blocchetto:
c'è la forza peso 
diretta verso il basso;
c'è la spinta di Archimede 
diretta verso l'alta, provocata dal solo volume immerso.
Il corpo è in equilibrio quindi:
Verifichiamo subito dall'equazione 2 che se 
allora 
, che è facilmente intuibile. Analogamente dall'equazione 3 se allora 
Il volume sommerso di un corpo in equilibrio che galleggia in un fluido è:
In casi molto semplici possiamo anche determinare di quanto in altezza si immerge dall'equazione:
