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Fluidodinamica. Equazione di continuità. Equazione di Bernoulli.



La fluidodinamica, come la fluidostatica, può essere spiegata a partire da un paradosso: l'effetto Venturi (o paradosso idrodinamico).

Consideriamo un tubo nel quale scorre un fluido con una velocità v e una pressione interna P. Ad un tratto il tubo si restringe e il fluido al suo interno esce con una velocità v' maggiore, ma la pressione P' è minore.

Il paradosso sta nel fatto che intuitivamente quando la velocità aumenta ci aspettiamo che la pressione sia maggiore!


Figura 1: Effetto venturi



Equazione di continuità


Immaginiamo di avere un tubo a sezione variabile e che ci sia un fluido (che supponiamo incomprimibile) che scorra al suo interno. Per questo ad ogni volume di fluido entrante corrisponde uno stesso volume uscente.


Figura 1: Un tubo a sezione variabile in cui scorre un fluido



Consideriamo una superficie del fluido nella parte più larga e un'altra superficie nella parte più stretta della tubo (vedi figura 2). Queste inizialmente si trovano rispettivamente nella posizione A e nella pozione Ce si muovono rispettivamente a e .

In un intervallo di tempo le due superfici descrivono due volumi, che come detto prima per l'incomprimibilità è lo stesso:



Le equazioni (1) e (2) sono dette equazioni di continuità, esse sono di notevole importanza e hanno numerosi campi di applicazioni anche fuori dalla fluidodinamica.

La (2) ci dice inoltre che la portata volumetrica deve rimanere costante attraverso un tubo a sezione variabile in cui scorre un fluido incomprimibile:




cioè anche:




L'equazione di continuità ci dice che la portata volumetrica rimane costante:




Esempio

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Equazione di Bernoulli



Figura 3: Un tubo a sezione variabile con dislivello




Prendiamo un tubo a sezione variabile e con una variazione di altezza rispetto a un piano orizzontale (vedi figura 3). Consideriamo due superfici e , esse delimitano un volume di fluido che riceve la spinta del fluido che si trova in alto e incontra la resistenza del fluido in basso (vedi figura 3-1).Conoscendo le pressioni e , i moduli delle forze sono:






In un intervallo di tempo piccolo il fluido, muovendosi con velocità in corrispondenza di e in corrispondenza di , si allontana di un tratto da e di un tratto da (vedi figura 3-2). Pertanto, il lavoro compiuto sulla nostra porzione di fluido dal resto del fluido è:



Durante questo stesso intervallo di tempo la massa di fluido passa da all'altezza e la forza di gravità compie un lavoro sul fluido pari a:




In totale il lavoro compiuto è:




Inoltre, sempre in , la massa di fluido passa dalla velocità a , quindi la variazione di energia cinetica è:




Per il teorema dell'energia cinetica, sappiamo che il lavoro è totale compiuto su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica:



La 1 è un'equazione del teorema di Bernoulli.


Un fluido ideale di densità in moto con velocità v, pressione p e ad un'altezza h rispetto a un riferimento, rispetta la seguente equazione:





Portanza dell'ala



L'equazione di Bernoulli è anche in grado di spiegare (entro certi limiti) la portanza delle ali degli aeroplani.


Figura 4: Il profilo di un ala. Le linee indicano il flusso dell'aria, dove sono più dense l'aria è più veloce.



L'ala di un aereo è costruita in modo da tale da avere sulla faccia superiore, velocità maggiore dell'aria.

Consideriamo che sulla faccia inferiore ci sia una pressione e sulla superiore e che la velocità dell'aria nella parte superiore sia e nella parte inferiore . Pertanto, dato che non c'è variazione di altezza apprezzabile, l'equazione di Bernoulli sarà:



Quindi notiamo che essendo allora e dunque la pressione sulla faccia inferiore è più alta di quella sulla faccia superiore, pertanto essa darà una spinta verso l'alto all'ala.


Jet Force



In fisica un getto è il flusso di un fluido che fuoriesce ad alta velocità da un ugello. Il termine è spesso utilizzato ad esempio per indicare i motori a getto dove la spinta viene generata per reazione da un getto di gas supersonico.


Quando il fluido in questione è l' acqua si parla di idrogetto. Ad esempio il getto d'acqua dalla siringa colpisce le pale di una turbina Pelton (vedere Figura 1, sinistra). Il getto fa un forza sulle pale ed esse cominciano a ruotare ad una velocità .


Le pale della turbina Pelton sono progettate in modo che l'acqua - dopo l'urto con la pala - viene riflessa indietro nella direzione da cui è partita (vedi Figura 1, a destra).


Figura 1: Getto d'acqua su una turbina Pelton e sezione di una sua pala.




Qual è la fisica di questo fenomeno?


Il fluido in movimento ha una massa e la velocità e quindi una quantità di moto. Quando colpisce la pala, esso può reindirizzato (come nel caso di turbine Pelton), o può perdere tutta la sua quantità di moto e quindi gocciolare sul pavimento. In entrambi i casi, questo provoca una variazione nella velocità dell'ostacolo.


Il getto ha colpito un ostacolo e sarà reindirizzato. Il getto applica un forza sull'ostacolo che aumenta la sua velocità di rotazione. Consideriamo l'impulso di una piccola massa di fluido, che è stata a contatto per un tempo con l'ostacolo:



La forza del getto è il prodotto della portata di massa e la differenza di velocità prima e dopo la collisione:




dove:





redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto