Equazioni irrazionali

In questo capitolo ci occuperemo delle equazioni irrazionali, quelle equazioni in cui l'incognita x si trova sotto radice.

In particolare vedremo come si applicano metodi di risoluzione diversi a seconda che l'indice della radice sia pari o dispari. Nel primo caso è fondamentale individuare l'insieme di definizione della radice.

Si chiamano equazioni irrazionali quelle equazioni che presentano un polinomio sotto il segno di radice.

Distinguiamo le equazioni irrazionali con radici ad indice pari dalle equazione irrazionali con radici ad indice dispari perchè, come visto nel capitolo sui radicali, le radici ad indice pari non sono sempre definite nel campo dei reali. Ciò porta ad usare metodi di soluzione diversi.

Abbiamo già visto nel capitolo sui radicali che non si può fare la radice quadrata di numeri negativi.

Possiamo invece fare la radice di numeri positivi.

Pertanto se un polinomio compare sotto una radice di indice pari:

l'equazione esiste solo se il polinomio è positivo o nullo:

Per tale ragione l'insieme di definizione della radice, ossia l'intervallo di valori della x per cui permette di individuare al suo interno le soluzioni dell'equazione irrazionale.

Vediamo ora alcuni differenti casi di equazioni irrazionali con radici di indice pari e in che modo si possono risolvere.

Questi esempi ci consentono di imparare a risolvere tutte le equazioni irrazionali, sfruttando una combinazione di queste soluzioni.

Questo tipo di equazione irrazionale ha un radicale a sinistra dell'uguale e un numero a destra, ossia del tipo:

Se , l'equazione non ha soluzioni, perchè una radice di indice pari può assumere solo valori positivi (o nulli).

Invece per , se la soluzione si ottiene dall'equazione:

Questo tipo di equazione irrazionale ha un radicale ad un membro ed un polinomio all'altro membro.

In questo caso l'insieme di definizione trovando le x che soddisfano il seguente sistema di equazioni:

Per la soluzione è necessario elevare al quadrato ambo i membri, ossia:

Infine escludiamo dalle soluzioni così ottenute quelle che non soddisfano l'insieme di definizione.

Si tratta di una equazione con un radicale in un membro ed un radicale all'altro.

In questo caso l'insieme di definizione si ottiene dal sistema:

Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione otteniamo:

Trovate le soluzioni di quest'ultima, dobbiamo scartare quelle che non soddisfano l'insieme di definizione.

Questa equazione ha due radicali ad un membro ed uno nell'altro.

In questo caso l'insieme di definizione si ottiene dal sistema:

Risolviamo l'equazione in questo modo:

da cui applicando i quadrati otteniamo:

ed infine isolando la radice:

L'abbiamo pertanto ricondotta al caso di equazione intera con un solo radicale, da risolvere come spiegato in precedenza.

Nel caso di un'equazione irrazionale frazionaria:

la radice con la x è sempre presente al denominatore.

L'insieme di esistenza si ricava dal sistema:

Notiamo che q(x) non può essere anche uguale a 0 altrimenti la frazione con q(x) al denominatore non sarebbe definita.

Risolviamo l'equazione iniziale elevando al quadrato ambo i membri:

Dobbiamo risolvere l'equazione frazionaria , considerando come soluzioni valide solo quelle che soddisfano l'insieme di definizione.

Rivediamo nella seguente tabella i vari tipi di equazioni irrazionali con radice ad indice pari, ognuno con il proprio insieme di esistenza e la modalità di risoluzione.

Come abbiamo già visto nel capitolo dei radicali, la radice cubica si può sempre calcolare.

Perciò se l'incognita x compare sotto una radice di indice dispari, l'equazione è sempre definita nel campo dei reali, cioè esiste .