Prova finale fb
 

Equazioni irrazionali



In questo capitolo ci occuperemo delle equazioni irrazionali, quelle equazioni in cui l'incognita x si trova sotto radice.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


In particolare vedremo come si applicano metodi di risoluzione diversi a seconda che l'indice della radice sia pari o dispari. Nel primo caso è fondamentale individuare l'insieme di definizione della radice.


Definizioni



Si chiamano equazioni irrazionali quelle equazioni che presentano un polinomio sotto il segno di radice.


Per avere un'equazione irrazionale devo quindi avere la x sotto il segno di radice!


Questa non è un'equazione irrazionale.




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Distinguiamo le equazioni irrazionali con radici ad indice pari dalle equazione irrazionali con radici ad indice dispari perchè, come visto nel capitolo sui radicali, le radici ad indice pari non sono sempre definite nel campo dei reali. Ciò porta ad usare metodi di soluzione diversi.


Radici con indice pari



Abbiamo già visto nel capitolo sui radicali che non si può fare la radice quadrata di numeri negativi.


La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali.




Lo stesso discorso vale per tutte le radici di indice pari.




Se ci interessa la soluzione dobbiamo studiare il capitolo sui numeri complessi.



Possiamo invece fare la radice di numeri positivi.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Pertanto se un polinomio compare sotto una radice di indice pari:




l'equazione esiste solo se il polinomio è positivo o nullo:




Per tale ragione l'insieme di definizione della radice, ossia l'intervallo di valori della x per cui permette di individuare al suo interno le soluzioni dell'equazione irrazionale.


Fasi per la risoluzione dell'equazione irrazionale con radice di indice pari.


Per risolvere un'equazione irrazionale che presenta radicali con indice pari è necessario seguire questi passi:

  • individuare il sottoinsieme di in cui essa esiste;

  • se presente una sola radice, isolarla in uno dei due membri; se presenti più radici, non lasciarle tutto nello stesso membro;

  • elevare a potenza, uguale all'indice delle radici, entrambi i membri dell'equazione, in modo da eliminare le radici;

  • trovare le soluzioni dell'equazione così ottenuta;

  • eliminare le eventuali soluzioni estranee all'equazione di partenza, se non appartengono all'insieme di definizione nei numeri reali.



Soluzione di equazioni irrazionali con indice pari



Vediamo ora alcuni differenti casi di equazioni irrazionali con radici di indice pari e in che modo si possono risolvere.


Questi esempi ci consentono di imparare a risolvere tutte le equazioni irrazionali, sfruttando una combinazione di queste soluzioni.


Equazione semplice



Questo tipo di equazione irrazionale ha un radicale a sinistra dell'uguale e un numero a destra, ossia del tipo:




Se , l'equazione non ha soluzioni, perchè una radice di indice pari può assumere solo valori positivi (o nulli).


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Invece per , se la soluzione si ottiene dall'equazione:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Equazione intera con un radicale



Questo tipo di equazione irrazionale ha un radicale ad un membro ed un polinomio all'altro membro.




In questo caso l'insieme di definizione trovando le x che soddisfano il seguente sistema di equazioni:




Per la soluzione è necessario elevare al quadrato ambo i membri, ossia:




Infine escludiamo dalle soluzioni così ottenute quelle che non soddisfano l'insieme di definizione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Equazione intera con due radicali



Si tratta di una equazione con un radicale in un membro ed un radicale all'altro.




In questo caso l'insieme di definizione si ottiene dal sistema:




Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione otteniamo:




Trovate le soluzioni di quest'ultima, dobbiamo scartare quelle che non soddisfano l'insieme di definizione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Equazione intera con tre radicali



Questa equazione ha due radicali ad un membro ed uno nell'altro.




In questo caso l'insieme di definizione si ottiene dal sistema:




Risolviamo l'equazione in questo modo:




da cui applicando i quadrati otteniamo:




ed infine isolando la radice:




L'abbiamo pertanto ricondotta al caso di equazione intera con un solo radicale, da risolvere come spiegato in precedenza.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Equazione irrazionale frazionaria



Nel caso di un'equazione irrazionale frazionaria:




la radice con la x è sempre presente al denominatore.


L'insieme di esistenza si ricava dal sistema:




Notiamo che q(x) non può essere anche uguale a 0 altrimenti la frazione con q(x) al denominatore non sarebbe definita.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Risolviamo l'equazione iniziale elevando al quadrato ambo i membri:




Dobbiamo risolvere l'equazione frazionaria , considerando come soluzioni valide solo quelle che soddisfano l'insieme di definizione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Tabella riassuntiva



Rivediamo nella seguente tabella i vari tipi di equazioni irrazionali con radice ad indice pari, ognuno con il proprio insieme di esistenza e la modalità di risoluzione.



Radici con indice dispari



Come abbiamo già visto nel capitolo dei radicali, la radice cubica si può sempre calcolare.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Perciò se l'incognita x compare sotto una radice di indice dispari, l'equazione è sempre definita nel campo dei reali, cioè esiste .


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Fasi per la risoluzione dell'equazione irrazionale con radici di indice dispari.


Per risolvere un'equazione irrazionale che presenta radicali con indice dispari è necessario seguire questi passi:

  • elevare a potenza uguale all'indice delle radici, entrambi i membri dell'equazione, per eliminare le radici;

    se gli indici sono diversi, si elevano ambo i membri ad una potenza uguale al minimo comune multiplo degli indici;

  • risolvere l'equazione così ottenuta;

  • le soluzioni trovate sono anche soluzioni dell'equazione irrazionale.



Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »

redattore del materiale didattico: Giacomo Matera Capicciuti