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Equazioni e disequazioni razionali



In questo capitolo parleremo delle equazioni razionali e delle disequazioni razionali, ossia di quelle equazioni e disequazioni che derivano da uguaglianze e disuguaglianze tra funzioni razionali.


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Definizioni



Consideriamo due funzioni razionali, espresse come






dove sono polinomi dipendenti da x e , .


Di esse ci interessa conoscere:


  • l'intersezione, ossia risolvere la equazione razionale




  • gli intervalli della x in cui il valore della prima funzione è maggiore (o è minore) rispetto al valore della seconda; in altre parole risolvere la disequazione razionale




    oppure




L'equazione razionale.


Si definisce equazione razionale l'uguaglianza tra due funzioni razionali nella quale si devono calcolare i valori di x che la soddisfano, ossia i punti in cui i relativi grafici delle funzioni si intersecano.



La disequazione razionale.


Si definisce disequazione razionale la disuguaglianza tra due funzioni razionali, a prescindere dal segno di maggiore > o minore <, nella quale si devono calcolare l'intervallo delle x dove il valore della prima funzione è maggiore o minore del valore della seconda, a seconda del segno richiesto.



Equazioni razionali



Date le funzioni razionali:






dove sono polinomi e , .


Se vogliamo trovare i punti di intersezione delle due funzioni razionali è sufficiente scrivere:




che equivale a porre:




Calcolare queste intersezioni significa risolvere una equazione razionale.


Quindi stiamo cercando i valori di x, per cui sia valida l'espressione suddetta. Possiamo così riscriverla:



Tale espressione è uguale a 0 quando il numeratore è uguale a 0 ed il denominatore è diverso da 0.


Siamo quindi alla ricerca di soluzioni per l'equazione:




ma che, allo stesso tempo, non coincidano con le soluzioni dell'equazione:




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Soluzioni dell'equazione razionale.


Data l'equazione razionale nella forma , una volta semplicata nella forma equivalente , le soluzioni dell'equazione sono gli tutti gli zeri del numeratore esclusi gli zeri del denominatore.



Disequazioni razionali



Consideriamo le due funzioni razionali






dove sono polinomi dipendenti dalla x e , .


Quando ricerchiamo i valori di x per cui il valore della funzione razionale f(x) è minore del valore della funzione razionale g(x), diciamo che dobbiamo risolvere la disequazione razionale:




che equivale a porre:




Il nostro compito è dunque quello di trovare le x per cui la disequazione razionale è soddisfatta.


Facciamo qualche passaggio:



Affinchè sia verificata quest'ultima disequazione numeratore e denominatore devono avere segno discorde (uno positivo, l'altro negativo o viceversa), inoltre il denominatore deve essere diverso da 0.


Si applica una delle due opzioni dei segni discordi.


La prima è:






la seconda è:






Esattamente nello stesso modo come stiamo cercando una soluzione per:




si trovano soluzioni alle seguenti:








Diamo un'occhiata a tutte le combinazioni e alle loro soluzioni:



Le disequazioni possono essere risolte con la retta dei reali o con i grafici. Vediamo un esempio.


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Soluzioni della disequazione razionale usando la retta dei reali.


La disequazione razionale semplificata nella forma viene risolta unendo le soluzioni ottenute da


e


con quelle ottenute da


e .



Soluzioni della disequazione razionale usando la retta dei reali.


La disequazione razionale semplificata nella forma viene risolta unendo le soluzioni ottenute da


e


con quelle ottenute da


e .



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Soluzioni della disequazione razionale con il metodo grafico.


La disequazione razionale semplificata nella forma ha come soluzioni tutte le x per cui il grafico della funzione razionale sta al di sopra dell'asse delle ascisse.



Soluzioni della disequazione razionale con il metodo grafico.


La disequazione razionale semplificata nella forma ha come soluzioni tutte le x per cui il grafico della funzione razionale sta al di sotto dell'asse delle ascisse.


redattore del materiale didattico: Giacomo Matera Capicciuti