Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado o equazione quadratica in una sola variabile x è un'uguaglianza che, quando ridotta in forma normale, presenta la x del primo membro di grado pari a 2:

I numeri o le espressioni letterali a, b e c sono detti primo, secondo e terzo coefficiente (quest'ultimo è detto anche termine noto) dell'equazione.

E' chiaro che deve sempre valere la condizione:

Altrimenti non abbiamo più un'equazione di secondo grado, bensì di primo grado:

Consideriamo un'equazione di secondo grado.

Si chiama soluzione o radice dell'equazione un qualunque numero reale che, sostituito alla variabile x, fa valere l'equazione. Nel caso delle equazioni ridotte a forma normale troviamo i valori di x che annullano il polinomio di secondo grado.

Il numero massimo di soluzioni o radici di un'equazione dipende dal suo grado:

Possiamo considerare la risoluzione di tale equazione da due punti di vista:

Per risolvere l'equazione, si applica la seguente Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

dove il binomio al di sotto della radice quadrata viene denominato discriminante ed è solitamente rappresentato dalla lettera greca delta:

Si chiama discriminante poiché le possibili soluzioni dell'equazione quadratica dipendono da esso. Si possono verificare infatti tre casi:

Un altro approccio alla risoluzione delle equazioni di secondo grado è quello grafico. Possiamo notare infatti che il grafico della funzione quadratica:

corrisponde nel piano cartesiano a una parabola, ovvero a una figura geometrica piana i cui punti hanno coordinate che si possono calcolare secondo la seguente equazione cartesiana:

Scegliendo quindi un punto di ascissa:

la sua ordinata sarà calcolata nel seguente modo:

Se tracciamo il grafico della parabola dell'esempio precedente, possiamo notare che per la concavità della parabola è verso l'alto:

Se tracciamo il grafico della parabola dell'esempio precedente, possiamo notare che per la concavità della parabola è verso il basso:

Quindi trovare le soluzioni di un'equazione quadratica del tipo:

vorrà dire quindi trovare i valori per cui la funzione si annulla, ovvero calcolare:

il che corrisponde a trovare il valore delle ascisse dei punti nei quali la parabola interseca l'asse X e per i quali l'ordinata è zero.

Analizziamo nel dettaglio la risoluzione delle equazioni di secondo grado in base ai valori assunti dal delta.

Se consideriamo la parabola:

Il discriminante è

il grafico della funzione è una parabola che interseca l'asse delle X in due punti, aventi per ascisse le due radici dell'equazione.

Per calcolare i due punti dove la parabola interseca l'asse x:

Se consideriamo la parabola:

Il discriminante è

il grafico della funzione è una parabola che interseca l'asse delle X in un solo punto avente per ascissa la radice dell'equazione.

Per calcolare il punto dove la parabola interseca l'asse x:

Se consideriamo la parabola:

Il discriminante è

il grafico della funzione è una parabola che non interseca l'asse delle X poiché l'equazione non ammette radici reali.