Equazioni di secondo grado numeriche fb
 

Equazioni di secondo grado



Un'equazione di secondo grado o equazione quadratica in una sola variabile x è un'uguaglianza che, quando ridotta in forma normale, presenta la x del primo membro di grado pari a 2:




I numeri o le espressioni letterali a, b e c sono detti primo, secondo e terzo coefficiente (quest'ultimo è detto anche termine noto) dell'equazione.


E' chiaro che deve sempre valere la condizione:




Altrimenti non abbiamo più un'equazione di secondo grado, bensì di primo grado:




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Soluzioni di un'equazione di secondo grado



Consideriamo un'equazione di secondo grado.






Si chiama soluzione o radice dell'equazione un qualunque numero reale che, sostituito alla variabile x, fa valere l'equazione. Nel caso delle equazioni ridotte a forma normale troviamo i valori di x che annullano il polinomio di secondo grado.


Il numero massimo di soluzioni o radici di un'equazione dipende dal suo grado:



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Possiamo considerare la risoluzione di tale equazione da due punti di vista:


Risoluzione matematica delle equazioni di secondo grado



Per risolvere l'equazione, si applica la seguente Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:




dove il binomio al di sotto della radice quadrata viene denominato discriminante ed è solitamente rappresentato dalla lettera greca delta:




Si chiama discriminante poiché le possibili soluzioni dell'equazione quadratica dipendono da esso. Si possono verificare infatti tre casi:


  • : l'equazione ha due soluzioni reali e distinte


  • : l'equazione ha una sola soluzione reale


  • : l'equazione non ha soluzioni reali



Risoluzione grafica delle equazioni di secondo grado



Un altro approccio alla risoluzione delle equazioni di secondo grado è quello grafico. Possiamo notare infatti che il grafico della funzione quadratica:




corrisponde nel piano cartesiano a una parabola, ovvero a una figura geometrica piana i cui punti hanno coordinate che si possono calcolare secondo la seguente equazione cartesiana:




Scegliendo quindi un punto di ascissa:




la sua ordinata sarà calcolata nel seguente modo:





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Se tracciamo il grafico della parabola dell'esempio precedente, possiamo notare che per la concavità della parabola è verso l'alto:




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Se tracciamo il grafico della parabola dell'esempio precedente, possiamo notare che per la concavità della parabola è verso il basso:





Quindi trovare le soluzioni di un'equazione quadratica del tipo:




vorrà dire quindi trovare i valori per cui la funzione si annulla, ovvero calcolare:




il che corrisponde a trovare il valore delle ascisse dei punti nei quali la parabola interseca l'asse X e per i quali l'ordinata è zero.


Analizziamo nel dettaglio la risoluzione delle equazioni di secondo grado in base ai valori assunti dal delta.


Delta positivo; due soluzioni reali



Se consideriamo la parabola:




Il discriminante è






il grafico della funzione è una parabola che interseca l'asse delle X in due punti, aventi per ascisse le due radici dell'equazione.


Per calcolare i due punti dove la parabola interseca l'asse x:






Coefficiente a positivo



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Coefficiente a negativo



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Delta uguale a zero; una soluzione reale



Se consideriamo la parabola:




Il discriminante è






il grafico della funzione è una parabola che interseca l'asse delle X in un solo punto avente per ascissa la radice dell'equazione.


Per calcolare il punto dove la parabola interseca l'asse x:





Coefficiente a positivo



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Coefficiente a negativo



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Delta negativo; nessuna soluzione reale



Se consideriamo la parabola:




Il discriminante è






il grafico della funzione è una parabola che non interseca l'asse delle X poiché l'equazione non ammette radici reali.



Coefficiente a positivo



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Coefficiente a negativo



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Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese