Identità e equazioni letterali fb
 

Equazioni di primo grado



Si chiama equazione di primo grado un'uguaglianza in cui grado massimo delle incognite (ossia le lettere di cui si deve determinare il valore) è pari a 1:





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Esistono equazioni di grado superiore al primo, come quelle di secondo grado.


Le equazioni di secondo grado hanno grado pari a 2, come




Ciò che si trova a sinistra dell’uguale è detto primo membro, ciò che si trova a destra è detto secondo membro. Tale uguaglianza può diventare vera sostituendo alla lettera (incognita) un valore particolare detto soluzione.


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Risolvere un'equazione di primo grado



I valori dell’incognita che soddisfano la equazione sono detti soluzioni o radici dell’equazione.

Due equazioni si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda e viceversa.

Due equazioni equivalenti a una terza sono equivalenti tra loro.

In generale per risolvere un’equazione si cerca di trasformarla in un’altra ad essa equivalente, ma di forma più semplice.

Per far ciò si utilizzano i principi di equivalenza.


1° principio di equivalenza



Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione si ottiene una equazione equivalente a quella data.


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Da tale principio derivano le seguenti regole, spiegate tramite esempi.


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2° principio di equivalenza



Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa espressione (diversa da zero) si ottiene una equazione equivalente a quella data.


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Da tale principio derivano le seguenti regole, spiegate tramite esempi.


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Le equazioni di primo grado intere



Le equazioni di primo grado intere sono quelle in cui l’incognita si trova solo al numeratore.


Il procedimento utilizzato per risolvere questo tipo di equazioni è il seguente:


Procedimento per risolvere un'equazione di primo grado:


  • Si eseguono i calcoli.


  • Si spostano i termini con la a 1° membro e quelli senza la a secondo membro.

    I termini che si spostano da un membro all'altro devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.


  • Si sommano i termini simili.


  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .



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Le equazioni di primo grado fratte



Le equazioni di primo grado fratte sono quelle in cui l’incognita si trova al denominatore.


Bisogna ricordare in questo caso che:


E' assolutamente vietato dividere un numero per 0


Bisogna quindi escludere dalle possibili soluzioni tutti i valori che annullano il denominatore.



Il procedimento utilizzato per risolvere questo tipo di equazioni è il seguente:


  • Si scompongono in fattori i denominatori.


  • Si determina un denominatore comune.


  • Si leva il denominatore e si calcola il campo di esistenza.

    Bisogna indicare con quali sono i valori della che annullano il denominatore.

    Per fare ciò si pone il denominatore diverso da zero.


  • Si svolgono i calcoli.


  • Si spostano i termini con la a primo membro e quelli senza la a secondo membro.

    I termini che si spostano devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.


  • Si sommano i termini simili.


  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .


  • Si verifica che la soluzione non sia una di quelle escluse con il campo di esistenza.

    Se la soluzione è una di quelle escluse l’equazione è impossibile.




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Equazioni indeterminate



Si definisce indeterminata un'equazione che si presenta sotto la forma , nella quale tutti i valori possibili della sono soluzioni.


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Equazioni impossibili



Si definisce impossibile un'equazione che si presenta sotto la forma , in questo caso infatti nessun valore della è soluzione.


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Equazioni letterali



Le equazioni letterali sono quelle in cui compaiono altre lettere oltre all'incognita, del tipo:




Di solito le lettere , , sono utilizzate per indicare le incognite, mentre le lettere , , vengono usate per indicare i parametri, vale a dire dei simboli che possono essere sostituiti da numeri.



Il procedimento è lo stesso utilizzato per risolvere le equazioni intere e fratte.


Ci sono però due differenze:


  • Una volta portate le da una parte e il resto dall'altra si mette in evidenza la e poi si divide per il coefficiente della ;


  • Nel risultato spesso ci sono delle lettere al denominatore. In questi casi bisogna discutere la soluzione.



Quando risolviamo un'equazione letterale è importante tener presente che il parametro occupa il posto di un numero, dunque per risolvere l'equazione bisogna tener presente che non è possibile dividere per zero; quindi al posto della lettera non si potranno sostituire quei numeri che rendono il denominatore pari a zero.



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redattore del materiale didattico: Anna Lanza