Equazioni di grado superiore al secondo

Esistono particolari tipi di equazioni di grado superiore al secondo che sono riducibili ad equazioni di primo e secondo grado e che sono dunque risolvibili come tali.

Un'equazione binomia è un'equazione che, ridotta in forma normale, è del tipo:

Per e avremo rispettivamente un'equazione di primo e secondo grado, mentre per avremo un'equazione risolvibile con la formula:

Potranno verificarsi le seguenti condizioni:

Un'equazione biquadratica è un'equazione che, ridotta in forma normale, è un'equazione di quarto grado, in cui mancano i termini di grado dispari:

Tale equazione si risolve imponendo:

In tal modo dovremmo trovare innanzitutto le soluzioni dell'equazione di secondo grado, detta equazione risolvente:

In base al suo discriminante avremo i seguenti casi:

Se , avremo le due soluzioni reali per le quali varrà:

da cui:

Possono verificarsi ora le seguenti condizioni:

Se , avremo una sola soluzione reale, per la quale varrà:

da cui:

Possono verificarsi ora le seguenti condizioni:

Se , non avremo alcuna soluzione reale per l'equazione risolvente e pertanto neanche l'equazione biquadratica avrà soluzioni reali.

Le equazioni biquadratiche non sono altro che un tipo particolare di una generica equazione trinomia, ovvero un'equazione nella forma:

Come per le equazioni biquadratiche, basterà imporre:

e poi risolvere l'equazione risolvente:

sostituendo le eventuali soluzioni reali nell'eguaglianza:

per ottenere le soluzioni dell'equazione trinomia.

Le equazioni reciproche sono equazioni che se ammettono come soluzione il valore , ammettono come soluzione anche il valore reciproco .

Esse presentano due forme:

Un'equazione reciproca di terzo grado di prima specie avrà la forma:

che, mettendo in evidenza i fattori comuni, si può riscrivere come:

Sappiamo che:

per cui l'equazione si può riscrivere come:

ovvero, effettuando gli opportuni calcoli:

L'equazione si risolve dunque risolvendo le due equazioni:

La prima è un'equazione di primo grado che ha come soluzione:

e la seconda è un'equazione di secondo grado che si risolve con il metodo noto.

Un'equazione reciproca di terzo grado di seconda specie avrà la forma:

che, mettendo in evidenza i fattori comuni, si può riscrivere come:

Sappiamo che:

per cui l'equazione si può riscrivere come:

ovvero, effettuando gli opportuni calcoli:

L'equazione si risolve dunque risolvendo le due equazioni:

La prima è un'equazione di primo grado che ha come soluzione:

e la seconda è un'equazione di secondo grado che si risolve con il metodo noto.

Un'equazione reciproca di quarto grado di prima specie avrà la forma:

Dividiamo tutti i membri per visto che non è sicuramente una soluzione dell'equazione:

Mettendo in evidenza i fattori comuni, otterremo:

Poiché, come si può verificare, vale l'uguaglianza:

possiamo riscrivere l'equazione come:

Se imponiamo:

possiamo calcolare le soluzioni dell'equazione reciproca, trovando le radici della seguente equazione risolvente di secondo grado:

Un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie avrà la forma:

Mettendo i fattori comuni in evidenza possiamo riscrivere l'equazione come:

ovvero:

Mettendo ancora in evidenza i fattori comuni, otteniamo l'equazione:

Le soluzioni dell'equazione reciproca saranno dunque date dalle radici delle due equazioni: