Equazioni monomie, binomie, trinomie, biquadratiche fb
 

Equazioni di grado superiore al secondo



Esistono particolari tipi di equazioni di grado superiore al secondo che sono riducibili ad equazioni di primo e secondo grado e che sono dunque risolvibili come tali.


Equazioni binomie



Un'equazione binomia è un'equazione che, ridotta in forma normale, è del tipo:






Per e avremo rispettivamente un'equazione di primo e secondo grado, mentre per avremo un'equazione risolvibile con la formula:




Potranno verificarsi le seguenti condizioni:



Esempio

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Equazione biquadratica



Un'equazione biquadratica è un'equazione che, ridotta in forma normale, è un'equazione di quarto grado, in cui mancano i termini di grado dispari:






Tale equazione si risolve imponendo:




In tal modo dovremmo trovare innanzitutto le soluzioni dell'equazione di secondo grado, detta equazione risolvente:




In base al suo discriminante avremo i seguenti casi:



Delta positivo



Se , avremo le due soluzioni reali per le quali varrà:






da cui:






Possono verificarsi ora le seguenti condizioni:



Esempio

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Delta uguale a zero



Se , avremo una sola soluzione reale, per la quale varrà:




da cui:




Possono verificarsi ora le seguenti condizioni:



Delta negativo



Se , non avremo alcuna soluzione reale per l'equazione risolvente e pertanto neanche l'equazione biquadratica avrà soluzioni reali.


Equazioni trinomie



Le equazioni biquadratiche non sono altro che un tipo particolare di una generica equazione trinomia, ovvero un'equazione nella forma:






Come per le equazioni biquadratiche, basterà imporre:




e poi risolvere l'equazione risolvente:




sostituendo le eventuali soluzioni reali nell'eguaglianza:




per ottenere le soluzioni dell'equazione trinomia.


Equazioni reciproche



Le equazioni reciproche sono equazioni che se ammettono come soluzione il valore , ammettono come soluzione anche il valore reciproco .


Esse presentano due forme:


  • Equazioni reciproche di prima specie in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali.


    Esempio

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  • Equazioni reciproche di seconda specie in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti.


    Esempio

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Equazioni reciproche di terzo grado di prima specie



Un'equazione reciproca di terzo grado di prima specie avrà la forma:




che, mettendo in evidenza i fattori comuni, si può riscrivere come:




Sappiamo che:




per cui l'equazione si può riscrivere come:




ovvero, effettuando gli opportuni calcoli:




L'equazione si risolve dunque risolvendo le due equazioni:







La prima è un'equazione di primo grado che ha come soluzione:




e la seconda è un'equazione di secondo grado che si risolve con il metodo noto.


Esempio

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Equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie



Un'equazione reciproca di terzo grado di seconda specie avrà la forma:




che, mettendo in evidenza i fattori comuni, si può riscrivere come:




Sappiamo che:




per cui l'equazione si può riscrivere come:




ovvero, effettuando gli opportuni calcoli:




L'equazione si risolve dunque risolvendo le due equazioni:







La prima è un'equazione di primo grado che ha come soluzione:




e la seconda è un'equazione di secondo grado che si risolve con il metodo noto.


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Equazioni reciproche di quarto grado di prima specie



Un'equazione reciproca di quarto grado di prima specie avrà la forma:




Dividiamo tutti i membri per visto che non è sicuramente una soluzione dell'equazione:




Mettendo in evidenza i fattori comuni, otterremo:




Poiché, come si può verificare, vale l'uguaglianza:




possiamo riscrivere l'equazione come:




Se imponiamo:




possiamo calcolare le soluzioni dell'equazione reciproca, trovando le radici della seguente equazione risolvente di secondo grado:




Esempio

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Equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie



Un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie avrà la forma:




Mettendo i fattori comuni in evidenza possiamo riscrivere l'equazione come:




ovvero:




Mettendo ancora in evidenza i fattori comuni, otteniamo l'equazione:




Le soluzioni dell'equazione reciproca saranno dunque date dalle radici delle due equazioni:







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Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese