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Divisione di Polinomi e Regola di Ruffini



Divisione di polinomi



E' possibile dividere un polinomio per un monomio o un polinomio per un altro polinomio.


Divisione di un polinomio per un monomio



Quando un polinomio è divisibile per un monomio, ovvero quando tutti i monomi del polinomio sono divisibili per tale monomio, il quoziente è uguale a un polinomio i cui termini sono i quozienti di ciascun monomio del polinomio per il monomio dato.


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Divisione di due polinomi



La divisione tra due polinomi può sembrare un argomento complesso, ma possiamo facilmente verificare che non si discosta molto dalla divisione aritmetica tra due numeri interi naturali.


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Tenendo presente che anche per i polinomi il principio è esattamente lo stesso, se A(x) e B(x) sono rispettivamente un polinomio dividendo e un polinomio divisore, Q(x) il polinomio quoziente e R(x) il polinomio resto, avremo:




A questo punto possiamo svolgere una divisione tra polinomi con l'identico criterio utilizzato per la divisione aritmetica.


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Ne ricaviamo il seguente teorema:


Se A(x) e B(x) sono polinomi interi di cui A(x) è di grado n e B(x) è di grado m, con e B(x) non nullo, esistono due soli polinomi Q(x) e R(x) tali che valga:




con Q(x) di grado n - m e con R(x) di grado minore di m.



Teorema del resto



Il Teorema del resto rappresenta un semplice metodo per calcolare il resto di una divisione tra due polinomi, senza effettivamente svolgere la divisione stessa e di conseguenza verificare se i due polinomi sono divisibili tra loro () o se non lo sono ().


Tale teorema afferma che se sostituiamo un numero intero naturale alla variabile x di un polinomio e tale polinomio si azzera, allora quel polinomio è divisibile per x meno quel numero.


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Possiamo dunque dedurre quanto segue:


Teorema del resto:


Dato un polinomio A(x) intero di grado n nella variabile x e il binomio lineare x - k, se alla variabile x sostituiamo il valore k presente nel binomio lineare, otterremo il resto della divisione tra i due polinomi:





Da questo teorema possiamo dedurre il seguente Criterio di divisibilità di A(x) per x - k:


Condizione necessaria e sufficiente perché il polinomio intero A(x) sia divisibile per il binomio x - k, è che k sia una radice o zero del polinomio, ovvero che:




Se infatti A(k) = 0 allora, essendo A(k) = R, anche R = 0 e dunque A(x) è divisibile per x - k.


Considerando poi che x + k si può scrivere anche come x - (-k), per quanto affermato prima, possiamo anche dedurre che:


A(x) è divisibile per x + k se -k è radice del polinomio A(x), ovvero:




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Da quanto detto, possiamo anche determinare il resto della divisione di un polinomio intero A(x) per un binomio lineare hx - k:


Essendo infatti:



Se ne deduce che:

Il resto della divisione di un polinomio intero A(x) per un binomio lineare hx - k è ottenibile con la seguente formula:






La Regola di Ruffini



La Regola di Ruffini è uno strumento molto utile che consente di effettuare in modo semplice e immediato il calcolo del quoziente e del resto della divisione tra un polinomio per un binomio di primo grado nella stessa variabile.


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Analizzando il valore dei coefficienti dell'esempio, possiamo dunque dedurre che:


Dato un polinomio omogeneo intero e ordinato di grado n e dato un binomio lineare

è possibile determinare i coefficienti del polinomio quoziente Q(x) di grado n-1 derivante dalla divisione dei due polinomi, nonché il resto R della divisione, tramite la seguente regola, detta Regola di Ruffini:


  • Il primo coefficiente del polinomio quoziente Q(x) è uguale al primo coefficiente del polinomio dividendo.

  • Il secondo coefficiente del polinomio quoziente Q(x) è uguale alla somma tra il secondo coefficiente del polinomio dividendo e il prodotto della moltiplicazione del primo coefficiente del polinomio quoziente Q(x) per k.

  • Tutti gli altri coefficienti del polinomio quoziente Q(x) si ricavano sommando al coefficiente del polinomio dividendo di ugual posto, il prodotto del coefficiente di Q(x) che lo precede per k.

  • Il resto della divisione è dato dalla somma dell'ultimo coefficiente del polinomio dividendo con il prodotto dell'ultimo coefficiente del polinomio quoziente Q(x) per k.




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Consideriamo ora il caso della divisione di un polinomio omogeneo per il binomio hx - k. Come abbiamo visto in precedenza, in questo caso vale:




Si noti bene, dunque, che in questo caso, prima di applicare la Regola di Ruffini, bisognerà dividere i coefficienti di A(x) per h e poi sommare ai coefficienti ottenuti il prodotto dei coefficienti di Q(x) per anziché k.


Inoltre, poiché alla fine del procedimento otteniamo anziché R, per calcolare il resto dovremo moltiplicare tale valore per h.




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Criteri di divisibilità di binomi somma e differenza di potenze di ugual grado


Consideriamo i seguenti binomi nella variabile x e di grado n:




    • Stabiliamo se tale somma di potenze di ugual grado è divisibile per il binomio B(x):




      Come abbiamo visto in precedenza, se -a è uno zero del polinomio, allora A(x) è divisibile per B(x).


      Sostituiamo allora -a alla variabile x, come segue:




      Potranno verificarsi i seguenti due casi:


      • Se n è pari:


      • Se n è dispari:



      Ne consegue che:


      La somma di due potenze con lo stesso grado non è divisibile per la somma delle basi se l'esponente è pari, mentre è divisibile se l'esponente è dispari.



      Con la Regola di Ruffini è possibile calcolare il quoziente della suddetta divisione :




      E pertanto:




      ovvero è un polinomio omogeneo di grado n - 1 i cui coefficienti sono alternativamente +1 e -1.


      Esempio

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    • Stabiliamo ora se A(x) è divisibile per il binomio B(x):




      Come abbiamo visto in precedenza, in questo caso se a è uno zero del polinomio, allora A(x) è divisibile per B(x).


      In tal caso, sia che l'esponente sia pari che esso sia dispari, otterremo sempre:




      Ne consegue che:


      La somma di due potenze con lo stesso grado non è mai divisibile per la differenza delle basi.






    • Stabiliamo se tale differenza di potenze di ugual grado è divisibile per il binomio B(x):




      In questo caso avremo:


      • Se n è pari:


      • Se n è dispari:



      Ne consegue che:


      La differenza di due potenze con lo stesso grado è divisibile per la somma delle basi se l'esponente è pari, mentre non è divisibile se l'esponente è dispari.



      Con la Regola di Ruffini è possibile calcolare il quoziente della suddetta divisione :




      E pertanto:




      ovvero è un polinomio omogeneo di grado n - 1 i cui coefficienti sono alternativamente +1 e -1.


      Esempio

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    • Stabiliamo ora se A(x) è divisibile per il binomio B(x):




      In tal caso, sia che l'esponente sia pari che esso sia dispari, otterremo sempre:




      Ne consegue che:


      La differenza di due potenze con lo stesso grado è sempre divisibile per la differenza delle basi.



      Con la Regola di Ruffini è possibile calcolare il quoziente della suddetta divisione :




      E pertanto:




      ovvero è un polinomio omogeneo di grado n - 1 i cui coefficienti sono tutti uguali a +1.


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Recapitolando:



Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese