In questo capitolo trattiamo le disequazioni irrazionali.
Una disequazione è irrazionale se contiene radicali con l'incognita x. In altre parole ci deve essere almeno una radice, di indice qualsiasi, che abbia come radicando un polinomio in x.
Questa non è una disequazione irrazionale!
Perché la x non è sotto il segno di radice.
Dobbiamo distinguere le disequazioni irrazionali con radici ad indice pari dalle disequazioni razionali con radici ad indice dispari, dato che nel primo caso i metodi di soluzione sono più articolati, a seconda del tipo di disequazione.
Come abbiamo visto nelle equazioni irrazionali, anche per le disequazioni irrazionali occorre tener presente che i radicali di indice pari esistono solo se il radicando è positivo o nullo.
Se abbiamo un polinomio sotto radice pari:
La radice è definita solo per:
Se la radice è definita, allora è vero anche che:
Nei numeri reali non possiamo mai avere un numero negativo sotto una radice di indice pari!
non esiste!
Illustriamo di seguito i vari tipi di disequazioni irrazionali con radici di indice pari e le diverse modalità di risoluzione, in base alle condizioni che vengono poste. In tal modo riusciremo a risolvere qualunque tipo di disequazione irrazionale.
Sono le disequazioni irrazionali più semplici, del tipo:
con 
e p(x) polinomio in x.
Per risolverle, deve valere la condizione di esistenza della radice
Si ricorda che se a e b sono due numeri reali positivi o nulli, la relazione di disuguaglianza che c'è tra loro continua a valere fra i loro quadrati:
Per procedere si elevano entrambi i membri al quadrato.
Pertanto dobbiamo risolvere il seguente sistema
le cui soluzioni saranno le x che soddisfano la disequazione irrazionale posta.
Sono disequazioni esprimibili nella forma
con 
e 
polinomi in x.
Per risolverle si pongono le necessarie condizioni affinchè la disequazione abbia significato, cioè:
Essendo stati posti p(x) e q(x) positivi, è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione.
Le soluzioni così determinate sono accettabili in base alle condizioni di esistenza sui due polinomi, in altre parole dobbiamo risolvere il seguente sistema:
Sono disequazioni del tipo
1) 
oppure del tipo
2) 
con e polinomi in x.
Distinguiamo il metodo a seconda del segno di disuguaglianza.
Quando per risolvere la disequazione dobbiamo porre:
In funzione del segno di p(x) abbiamo due possibilità non esclusive.
Se 
la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni del sistema:
Se è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione e le soluzioni sono quelle di quest'altro sistema:
Notiamo che, valendo la terza disequazione del sistema, q(x) è maggiore di una quantità non negativa, quindi non può essere uguale a zero. Allora l'abbiamo posta solo 
.
Inoltre, sempre per la terza disequazione, la prima è superflua, poichè se un polinomio è maggiore di un polinomio al quadrato è naturalmente sempre positivo. Allora il sistema da considerare si riduce al seguente:
Sistemi per la risoluzione di disequazione del tipo .
Per risolvere disequazioni irrazionali con radice ad indice pari del tipo occorre risolvere questi due sistemi di disequazioni e determinare l'unione delle loro soluzioni.
Quando 
per risolvere la disequazione dobbiamo determinare un sistema composto, oltre che dalla disequazione vera e propria, anche dalla condizioni di esistenza della radice e dalla stretta positività di p(x), essendo questo polinomio maggiore di 
, sempre positiva o nulla.
Pertanto, il sistema risolutivo sarà così fatto:
La risoluzione di disequazioni irrazionali di indice dispari non presenta particolari problemi, perchè il risultato di una radice ad indice dispari è sempre definito.
Nelle disequazioni irrazionali con radice ad indice dispari si può applicare l'opportuno elevamento a potenza senza che si modifichi il segno della diseguaglianza.
