Disequazioni irrazionali

In questo capitolo trattiamo le disequazioni irrazionali.

Una disequazione è irrazionale se contiene radicali con l'incognita x. In altre parole ci deve essere almeno una radice, di indice qualsiasi, che abbia come radicando un polinomio in x.

Dobbiamo distinguere le disequazioni irrazionali con radici ad indice pari dalle disequazioni razionali con radici ad indice dispari, dato che nel primo caso i metodi di soluzione sono più articolati, a seconda del tipo di disequazione.

Come abbiamo visto nelle equazioni irrazionali, anche per le disequazioni irrazionali occorre tener presente che i radicali di indice pari esistono solo se il radicando è positivo o nullo.

Se abbiamo un polinomio sotto radice pari:

La radice è definita solo per:

Se la radice è definita, allora è vero anche che:

Illustriamo di seguito i vari tipi di disequazioni irrazionali con radici di indice pari e le diverse modalità di risoluzione, in base alle condizioni che vengono poste. In tal modo riusciremo a risolvere qualunque tipo di disequazione irrazionale.

Sono le disequazioni irrazionali più semplici, del tipo:

con e p(x) polinomio in x.

Per risolverle, deve valere la condizione di esistenza della radice

Per procedere si elevano entrambi i membri al quadrato.

Pertanto dobbiamo risolvere il seguente sistema

le cui soluzioni saranno le x che soddisfano la disequazione irrazionale posta.

Sono disequazioni esprimibili nella forma

con e polinomi in x.

Per risolverle si pongono le necessarie condizioni affinchè la disequazione abbia significato, cioè:

Essendo stati posti p(x) e q(x) positivi, è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione.

Le soluzioni così determinate sono accettabili in base alle condizioni di esistenza sui due polinomi, in altre parole dobbiamo risolvere il seguente sistema:

Sono disequazioni del tipo

1)

oppure del tipo

2)

con e polinomi in x.

Distinguiamo il metodo a seconda del segno di disuguaglianza.

Quando per risolvere la disequazione dobbiamo porre:

In funzione del segno di p(x) abbiamo due possibilità non esclusive.

Se la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni del sistema:

Se è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione e le soluzioni sono quelle di quest'altro sistema:

Notiamo che, valendo la terza disequazione del sistema, q(x) è maggiore di una quantità non negativa, quindi non può essere uguale a zero. Allora l'abbiamo posta solo .

Inoltre, sempre per la terza disequazione, la prima è superflua, poichè se un polinomio è maggiore di un polinomio al quadrato è naturalmente sempre positivo. Allora il sistema da considerare si riduce al seguente:

Quando per risolvere la disequazione dobbiamo determinare un sistema composto, oltre che dalla disequazione vera e propria, anche dalla condizioni di esistenza della radice e dalla stretta positività di p(x), essendo questo polinomio maggiore di , sempre positiva o nulla.

Pertanto, il sistema risolutivo sarà così fatto:

La risoluzione di disequazioni irrazionali di indice dispari non presenta particolari problemi, perchè il risultato di una radice ad indice dispari è sempre definito.