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Disequazioni irrazionali



Definizioni



In questo capitolo trattiamo le disequazioni irrazionali.


Una disequazione è irrazionale se contiene radicali con l'incognita x. In altre parole ci deve essere almeno una radice, di indice qualsiasi, che abbia come radicando un polinomio in x.


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Questa non è una disequazione irrazionale!




Perché la x non è sotto il segno di radice.



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Dobbiamo distinguere le disequazioni irrazionali con radici ad indice pari dalle disequazioni razionali con radici ad indice dispari, dato che nel primo caso i metodi di soluzione sono più articolati, a seconda del tipo di disequazione.


Radici con indice pari



Come abbiamo visto nelle equazioni irrazionali, anche per le disequazioni irrazionali occorre tener presente che i radicali di indice pari esistono solo se il radicando è positivo o nullo.


Se abbiamo un polinomio sotto radice pari:




La radice è definita solo per:




Se la radice è definita, allora è vero anche che:




Nei numeri reali non possiamo mai avere un numero negativo sotto una radice di indice pari!


non esiste!



Illustriamo di seguito i vari tipi di disequazioni irrazionali con radici di indice pari e le diverse modalità di risoluzione, in base alle condizioni che vengono poste. In tal modo riusciremo a risolvere qualunque tipo di disequazione irrazionale.


Disequazioni tra un radicale e un numero reale



Sono le disequazioni irrazionali più semplici, del tipo:




con e p(x) polinomio in x.


Per risolverle, deve valere la condizione di esistenza della radice




Si ricorda che se a e b sono due numeri reali positivi o nulli, la relazione di disuguaglianza che c'è tra loro continua a valere fra i loro quadrati:




Per procedere si elevano entrambi i membri al quadrato.




Pertanto dobbiamo risolvere il seguente sistema




le cui soluzioni saranno le x che soddisfano la disequazione irrazionale posta.


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Disequazioni tra due radicali



Sono disequazioni esprimibili nella forma




con e polinomi in x.


Per risolverle si pongono le necessarie condizioni affinchè la disequazione abbia significato, cioè:






Essendo stati posti p(x) e q(x) positivi, è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione.




Le soluzioni così determinate sono accettabili in base alle condizioni di esistenza sui due polinomi, in altre parole dobbiamo risolvere il seguente sistema:




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Disequazioni tra un radicale e un polinomio in x



Sono disequazioni del tipo


1)


oppure del tipo


2)


con e polinomi in x.


Distinguiamo il metodo a seconda del segno di disuguaglianza.


1° caso



Quando per risolvere la disequazione dobbiamo porre:




In funzione del segno di p(x) abbiamo due possibilità non esclusive.


Se la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni del sistema:




Se è possibile elevare al quadrato entrambi i termini della disequazione e le soluzioni sono quelle di quest'altro sistema:




Notiamo che, valendo la terza disequazione del sistema, q(x) è maggiore di una quantità non negativa, quindi non può essere uguale a zero. Allora l'abbiamo posta solo .


Inoltre, sempre per la terza disequazione, la prima è superflua, poichè se un polinomio è maggiore di un polinomio al quadrato è naturalmente sempre positivo. Allora il sistema da considerare si riduce al seguente:




Sistemi per la risoluzione di disequazione del tipo .


Per risolvere disequazioni irrazionali con radice ad indice pari del tipo occorre risolvere questi due sistemi di disequazioni e determinare l'unione delle loro soluzioni.






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2° caso



Quando per risolvere la disequazione dobbiamo determinare un sistema composto, oltre che dalla disequazione vera e propria, anche dalla condizioni di esistenza della radice e dalla stretta positività di p(x), essendo questo polinomio maggiore di , sempre positiva o nulla.


Pertanto, il sistema risolutivo sarà così fatto:




Tabella riassuntiva





Radici con indice dispari



La risoluzione di disequazioni irrazionali di indice dispari non presenta particolari problemi, perchè il risultato di una radice ad indice dispari è sempre definito.


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Nelle disequazioni irrazionali con radice ad indice dispari si può applicare l'opportuno elevamento a potenza senza che si modifichi il segno della diseguaglianza.




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redattore del materiale didattico: Giacomo Matera Capicciuti