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Derivate di funzioni composte e inverse



Derivata di funzioni composte



Dalla teoria la funzione composta è definita come:




Per calcolare la derivata di tale funzione la procedura da seguire è quella di derivare la funzione composta rispetto alla variabile da cui dipende direttamente e poi moltiplicare per la derivata di quest'ultima rispetto alla variabile indipendente.


Prima di effettuare degli esempi chiarificatori esplicitiamo tutto in una formula.


Se e sono tali da definire la funzione composta , allora la derivata di F(x) in un punto generico x risulta:




La formula precedente si può applicare anche nel caso in cui le funzioni componenti siano più di due.


Se risulta , e allora si ha:




Esempio

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Un metodo più rapido per calcolare la derivata di una funzione composta è illustrato nell'esempio successivo.


Esempio

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Derivate ricavate dalla regola di derivazione delle funzioni composte



Nella tabella seguente sono indicate, senza effettuare la dimostrazione, le derivate che si ricavano dall'applicazione della regola di derivazione delle funzioni composte.



Derivate di funzioni inverse



Supponiamo che una funzione ammette l'inversa . Se è derivabile in , con derivata , allora anche è derivabile in e si ha:




Da questa formula si può ricavare la derivata delle funzioni inverse delle funzioni goniometriche.



redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto