Quando tracciamo una circonferenza con il compasso, disegniamo una serie di punti che hanno tutti la stessa distanza dal centro in cui puntiamo l'ago del compasso.
Definizione di circonferenza:
la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La figura formata da tutti i punti della circonferenza e dai punti interni si chiama cerchio.
Scriviamo l'equazione della circonferenza sul piano cartesiano: imponiamo che la distanza da C, detto centro, da un punto qualsiasi della circonferenza P sia uguale alla quantità r, che chiameremo raggio.
La distanza tra i punti 
e 
può essere calcolata con il teorema di Pitagora.
Sostituiamo le coordinate di P e C:
Eleviamo entrambi i membri al quadrato per eliminare la radice quadrata:
Se il centro C ha coordinate (0,0) allora l'equazione diventa:
Equazione di una circonferenza centrata in 
di raggio pari a r:
Equazione di una circonferenza centrata nell'origine degli assi di raggio pari a r:
Sviluppiamo l'equazione della circonferenza.
Equazione normale della circonferenza o cartesiana:
Notiamo che nell'equazione della circonferenza i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali in segno e valore e non esistono i termini misti in xy.
Questa equazione:
non è una circonferenza perché i coefficienti dei termini al quadrato sono diversi: non è possibile riportare l'equazione in forma normale.
Dall'equazione normale possiamo trovare il raggio e la posizione del centro in questo modo:
Riprendiamo l'equazione appena trovata per capire sotto quali condizioni essa rappresenti una circonferenza:
rappresenta una circonferenza se viene soddisfatta la seguente condizione che ci dice che il raggio infatti non può mai essere una quantità negativa:
Condizione di esistenza:
Nel caso il raggio sia pari a zero, la circonferenza degenera in un punto di coordinate coincidenti a quelle del centro.
Riprendiamo l'equazione della circonferenza.
Quando alcuni dei coefficienti a,b,c sono nulli allora la circonferenza assume una particolare posizione rispetto agli assi:
Posizioni della circonferenza rispetto agli assi
Gli elementi geometrici principali che caratterizzano una circonferenza sono il suo centro e il raggio. Ci sono però altri elementi che è utile conoscere:
Raggio: distanza dal centro a un qualsiasi punto sulla circonferenza.
Centro: è il centro di simmetria di una circonferenza, ogni retta passante per il centro è un asse di simmetria.
Diametro: è la corda massima di una circonferenza, passante per il centro e pari al doppio del raggio.
Corda: è il segmento che unisce due punti che stanno sulla circonferenza, il suo asse passa per il centro della circonferenza.
Asse di una corda: è la retta che taglia perpendicolarmente la corda nel suo punto medio. L'intersezione tra gli assi di due corde individua il centro della circonferenza.
Tangente: preso un punto esterno alla circonferenza o sulla circonferenza stessa è possibile tracciare la tangente alla circonferenza passante per quel punto. La tangente è sempre perpendicolare al raggio passante per quel punto.
Elementi di una circonferenza
Una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune.
In un piano sono dati una retta p e una circonferenza di centro C e raggio r, detta d la distanza della retta da C si ha:
se 
: la retta è esterna alla circonferenza e non hanno punti in comune.
se 
: la retta è tangente alla circonferenza e hanno un solo punto in comune.
se 
: la retta interseca la circonferenza in due punti.
posizioni retta-circonferenza
Due circonferenze complanari di raggio rispettivamente r e R e centri C e C' si dicono:
Esterne quando tutti i punti di una sono esterni all'altra e viceversa e 
.
Tangenti esternamente quando hanno in comune solo un punto e tutti gli altri punti sono esterni e 
.
Tangenti internamente quando hanno in comune solo un punto e tutti gli altri punti sono interni e 
.
Secanti quando hanno due punti in comune e 
.
Interna quando i punti della minore sono interni alla maggiore e 
.
Ci sono due metodi, uno numerico e uno geometrico
Per individuare una circonferenza occorrono tre condizioni. Le tre condizioni possono essere fornite dalle coordinate di tre punti non allineati. Imponendo il passaggio della circonferenza per quei tre punti è possibile determinare i tre coefficienti a,b,c che caratterizzano la circonferenza.
Imporre il passaggio per un punto P significa sostituire ai termini x,y dell'equazione le coordinate del punto P. Facciamo un esempio:
E' possibile utilizzare anche un metodo geometrico ricordando che gli assi delle corde passanti per i tre punti non allineati si intersecano nel centro della circonferenza passante per i tre punti in questione. Calcolando poi la distanza tra il centro appena trovato e uno dei punti sarà possibile conoscere anche il valore del raggio e scrivere l'equazione della circonferenza.
Ecco quali passi seguire:
Scrivere le equazioni delle rette passanti per due coppie di punti.
Calcolare il coefficiente angolare delle perpendicolari alle rette trovate al punto precedente.
Trovare i punti medi di due corde.
Scrivere le equazioni delle perpendicolari passanti per il punto medio delle corde (cioè le equazioni degli assi delle corde).
Trovare l'intersezione tra i due assi, ricaviamo in questo modo le coordinate del centro (
.
Calcolare la distanza (cioè il raggio 
) tra il centro appena trovato e uno dei punti assegnati.
Scrivere l'equazione della circonferenza usando i dati relativi alle coordinate del centro e il raggio utilizzando la:
Il problema è di semplice soluzione utilizzando:
Infatti 
sono proprio le coordinate del centro e al secondo membro appare il raggio.
Facciamo un esempio:
Sia dato un punto esterno alla circonferenza, si vogliono trovare le tangenti alla circonferenza condotte per il punto dato. Risolviamo un sistema di secondo grado tra l'equazione della circonferenza e il fascio di rette passanti per il punto esterno 
.
Ricordiamo che la condizione di tangenza si esplica nell'imporre che l'equazione risolutiva ammetta due soluzioni reali e coincidenti, cioè 
. Facciamo un esempio:
Tangenti condotte da un punto esterno
Formula di sdoppiamento della circonferenza:
dove 
, punto di tangenza sulla circonferenza e 
, coefficienti della circonferenza, sono dati. Facciamo un semplice esempio:
