Approssimazione e propagazione degli errori fb
 

Approssimazioni ed errori



Nelle diverse discipline scientifiche (ingegneria, architettura, chimica, ecc.), gli strumenti che vengono utilizzati per effettuare delle misurazioni non consentono mai di ottenere dei valori accurati. Esiste sempre un margine di errore che ci costringe a effettuare delle approssimazioni. Un'approssimazione è comunque una rappresentazione di una determinata grandezza che, pur non essendo completamente esatta, è tuttavia abbastanza precisa da avere un'utilità pratica.


Notazione matematica



Quando si misura una determinata grandezza, possiamo distinguere due valori che si indicano in due modi diversi:

  • valore approssimato della grandezza misurata, indicato con A

  • valore esatto della grandezza misurata, indicato con a


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Errori



Distinguiamo due tipi di errori:


Errore assoluto



L'errore assoluto è il limite assoluto entro il quale probabilmente risiede il vero valore della grandezza misurata. Quindi:


L'errore assoluto rappresenta la dimensione dell'errore fatto ed è definito dalla differenza tra il valore misurato e il valore esatto, cioè:




Se indichiamo con il valore massimo possibile per l'errore assoluto, il valore esatto sarà limitato nel modo seguente:




ovvero:




In altre parole il valore massimo di a è e il valore minimo è .


Nota: è la lettera greca epsilon.


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Errore assoluto nella somma e nella differenza



Nel calcolo delle approssimazioni, per gli errori assoluti vale la seguente regola:


Se a e b sono i valori esatti di due grandezze e A e B i relativi valori approssimati, allora l'errore assoluto nel calcolare la loro somma (o differenza) è minore o uguale alla somma degli errori assoluti:




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Errore relativo



Spesso ci interessa valutare la dimensione dell'errore rispetto al valore esatto di una grandezza. Il rapporto risultante è detto errore relativo.

L'errore relativo ci consente quindi di valutare l'entità di un errore, ovvero se un errore è piccolo o grande e di conseguenza se è più o meno tollerabile. Minore è il valore dell'errore relativo, maggiore sarà la precisione della misurazione effettuata.


L'errore relativo si calcola come rapporto tra l'errore assoluto e valore esatto della grandezza misurata:




L'errore relativo è spesso espresso in percentuale ed è indicato con la lettera r.


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Errore relativo di un prodotto e di un quoziente



Per gli errori relativi valgono le seguenti regole:


Se a e b sono i valori esatti di due grandezze e A e B i relativi valori approssimati, allora:


  • L'errore relativo nel calcolo di un prodotto è minore o uguale alla somma degli errori relativi dei singoli fattori:




  • L'errore relativo nel calcolo di un quoziente è minore o uguale alla somma degli errori relativi del numeratore e denominatore:






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Arrotondamento



Quando non abbiamo bisogno di risultati particolarmente accurati possiamo ricorrere all'arrotondamento. L'arrotondamento consiste nel ridurre il numero delle cifre significative con cui si rappresenta una determinata grandezza.


Per l'arrotondamento valgono le seguenti regole:

  • se la cifra in corrispondenza della quale si vuole troncare un numero è seguita da 0,1,2,3 o 4, la cifra resta invariata


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  • se la cifra in corrispondenza della quale si vuole troncare un numero è seguita da 5,6,7,8 o 9, la cifra viene incrementata di 1


    Nota: Se l'ultima cifra da mantenere è 9 e bisogna incrementarla di 1, viene posta a zero e si aumenta di 1 la cifra precedente.


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Tipi di arrotondamento



Abbiamo due tipi di arrotondamento:


  • Arrotondamento a n cifre significative:


    Arrotondare a n cifre significative significa mantenere le prime n cifre del numero, partendo dalla prima cifra da sinistra che sia diversa da zero.


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  • Arrotondamento a n cifre decimali:


    Arrotondare a n cifre decimali significa mantenere le prime n cifre dopo la virgola e impostare le restanti cifre a zero.


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Nota: quando si svolge una somma, una differenza, un prodotto o un quoziente, di solito si arrotonda il risultato al numero di cifre decimali del fattore con minor numero di cifre decimali.


redattore del materiale didattico: Carmine Albanese