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Applicazioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche



In questo capitolo vedremo alcune applicazioni pratiche delle funzioni esponenziali e logaritmiche.


Applicazioni delle funzioni esponenziali



Le funzioni esponenziali vengono utilizzate in tutti quei casi in cui una quantità cresce o decresce in maniera esponenziale, per cui possiamo distinguere due casi:


  • crescita esponenziale


  • decadimento esponenziale


Esempi di crescita esponenziale



Se una data quantità (soldi, persone...) ad intervalli uguali aumenta di un fattore costante, la crescita si chiama esponenziale.



Tasso di interesse



Nella vita quotidiana, possiamo trovarci facilmente di fronte a un caso come quello dell'esempio seguente.


Esempio

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Crescita della popolazione



Le funzioni esponenziali possono essere utilizzate anche per calcolare una rapida crescita della popolazione, se conosciamo la popolazione iniziale , il tasso di crescita k e il numero di anni nei quali vogliamo effettuare il conteggio e che possiamo indicare con t.


La funzione può essere scritta come:




Esempio

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Esempi di decadimento esponenziale



Se una data quantità (massa di un elemento radioattivo...) ad intervalli uguali decresce di un fattore costante, si parla si decadimento esponenziale.



Decadimento radioattivo



Esempio

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La riduzione del numero di atomi di un elemento radioattivo è descritto dalla formula:




dove è il numero di atomi iniziali, è il numero di atomi al tempo t, è il tempo in corrispondenza del quale il numero di atomi si è ridotto alla metà (emivita).


Esempio

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Archeologia



L'età di un organismo fossile può essere determinata attraverso il tempo di decadimento del , un isotopo radioattivo del carbonio che si trova nei tessuti degli organismi viventi. Dopo la morte dell'organismo, l'isotopo comincia a decadere in maniera esponenziale:




dove t è il tempo di decadimento e A è la quantità iniziale di carbonio nell'organismo.


Applicazioni delle funzioni logaritmiche



Scala Richter



La scala Richter viene utilizzata per misurare l'intensità dei terremoti ed è riportata nella tabella seguente:



La scala Richter è data dalla funzione logaritmica:




dove è l'intensità registrata dai sismografi e è l'intensità minima di un terremoto.


Esempio

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Intensità del suono in decibel



La sensibilità dell'orecchio ai suoni segue pure una scala logaritmica e il volume del suono G, misurato in decibel, si ottiene dalla seguente formula:




dove è l'intensità acustica e è l'intensità acustica della soglia di udibilità dell'orecchio umano, corrispondente ad un suono appena udibile.


I valori dei livelli di intensità acustica espressi in dB sono riportati nella tabella sottostante:



Esempio

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Calcolo del PH



In chimica, il pH misura l'acidità o l'alcalinità di una soluzione ed è calcolato come il logaritmo decimale negativo della concentrazione di ioni idronio:




Esempio

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Carte logaritmiche



A volte, inserendo dei dati su un sistema di assi cartesiani in scala lineare (i valori sulle ascisse e sulle ordinate sono spaziati secondo un un andamento lineare), il grafico che ne risulta è poco leggibile. In questi casi, si preferisce usare allora le cosiddette carte logaritmiche, un particolare tipo di carta millimetrata in cui i valori sull'asse delle ordinate seguono un andamento logaritmico (i valori si infittiscono in prossimità di con n intero e successivamente si diradano).


Una carta logaritmica presenta una scala logaritmica sull'asse delle ordinate e una scala lineare sull'asse delle ascisse.



Cosa succede se rappresentiamo una funzione esponenziale su una carta logaritmica ? Vediamo il seguente esempio.


Esempio

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Come possiamo vedere, il grafico di una funzione esponenziale su carta logaritmica è una linea retta.


Vediamo dal punto di vista matematico cosa succede su una carta logaritmica. Consideriamo una funzione esponenziale:



Nell'equazione che abbiamo ottenuto, rappresenta il coefficiente angolare di una retta e rappresenta l'ordinata all'origine, per cui la rappresentazione grafica della funzione su carta logaritmica è proprio una retta.


redattore del materiale didattico: Carmine Albanese