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Angoli nel piano



Un angolo nel piano è una parte del piano delimitata da due semirette aventi la stessa origine. Le due semirette si chiamano lati dell'angolo, mentre l'origine delle semirette si dice vertice dell'angolo.


Indichiamo il vertice di un angolo con una lettera maiuscola dell'alfabeto, ad esempio V, mentre l'angolo nel suo complesso viene indicato con una lettera dell'alfabeto greco minuscolo ().



Possiamo anche individuare le due semirette che costituiscono i lati tramite due loro punti diversi dal vertice dell'angolo. Potremo allora nominare l'angolo indicando i due punti appartenenti ai suoi lati insieme al vertice. Ad esempio nella figura abbiamo disegnato l'angolo :



Con quest'ultimo tipo di scrittura, consideriamo sempre l'angolo convesso individuato dai tre punti.


Unità di misura degli angoli



Le più comuni unità di misura degli angoli sono i gradi e i radianti.


La misura in gradi si indica con un piccolo cerchio (°) in alto vicino alla misura. considera l'angolo giro di 360°. Si definisce quindi il grado come dell'angolo giro.

Si possono poi definire unità più piccole come:


  • il minuto primo, che corrisponde a di grado;


  • il minuto secondo, che corrisponde a di minuto primo e quindi a di grado.


La misura in radianti si indica con rad. Il radiante è l'angolo che stacca su una circonferenza un arco di lunghezza pari al raggio. L'angolo giro misura quindi 2 radianti. Il radiante è una misura scalare, ovvero è un numero puro, senza dimensioni, quindi di solito non si scrive nulla dopo di esso.



Angoli particolari



In geometria, un'attenzione particolare è riservata ai seguenti angoli:


Angolo nullo



L'angolo nullo misura 0° ovvero 0 rad (radianti). Le due semirette che lo formano sono coincidenti e non vi sono punti del piano compresi tra esse.



Angolo retto



L'angolo retto misura 90° ovvero rad. E' l'angolo convesso delimitato da due semirette perpendicolari tra di loro:


Esempio

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Angolo piatto



L'angolo piatto misura 180° ovvero rad. Le due semirette che lo delimitano sono allineate ma non coincidenti e insieme formano una retta:


Esempio

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Angolo giro



L'angolo giro misura 360° ovvero 2 rad. Le semirette che lo delimitano sono coincidenti, e tutto il piano fa parte dell'angolo:


Esempio

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Gli angoli maggiori o multipli dell'angolo giro si sovrappongono formando sempre un angolo visibile compreso tra 0° e 360°. Per questo consideriamo soltanto gli angoli compresi tra 0° e 360°.


Tipologie di angoli



Possiamo classificare gli angoli secondo le seguenti tipologie:


Angoli acuti



Gli angoli acuti sono gli angoli minori di un angolo retto



Angoli ottusi



Gli angoli ottusi sono angoli compresi tra un angolo retto e un angolo piatto



Angoli convessi



Sono convessi tutti gli angoli minori o uguali a un angolo piatto



Angoli concavi



Sono concavi tutti gli angoli compresi tra un angolo piatto e un angolo giro.



Relazioni tra angoli



Le seguenti relazioni tra coppie di angoli sono utili da memorizzare:


Angoli complementari



Due angoli sono complementari se la loro somma è di 90°:


Angoli supplementari



Due angoli sono supplementari se la loro somma è di 180°:


Angoli consecutivi e angoli adiacenti



Si dicono consecutivi due angoli che hanno il vertice e un lato in comune


Due angoli consecutivi formano un nuovo angolo con lo stesso vertice, che si dice angolo somma.



Due angoli consecutivi che siano anche supplementari si dicono angoli adiacenti


Angoli adiacenti hanno un lato in comune e gli altri due lati allineati tra di loro.


Angoli opposti al vertice



Due angoli sono opposti al vertice se i loro lati hanno lo stesso vertice e sono a due a due allineati, formando così due rette con intersezione nel vertice stesso.



Angoli opposti al vertice hanno la stessa misura, sono cioè congruenti.



Esempio

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Angoli alterni



Due angoli si dicono alterni quando hanno un lato in comune ma vertici distinti, e il secondo lato di ciascuno appartenente a semirette parallele tra di loro e disposte da parti opposte rispetto alla retta che unisce i due vertici :


Gli angoli alterni rispetto a rette parallele sono congruenti.




Esempio

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Angoli con lati paralleli o perpendicolari tra di loro



Nei paragrafi che seguono consideriamo soltanto angoli convessi.


Angoli con i lati paralleli



Angoli convessi con i lati paralleli tra di loro sono:

  • congruenti, se entrambi i lati paralleli hanno la stessa direzione

    Esempio di due angoli acuti


    Esempio di due angoli ottusi



  • congruenti, se entrambi i lati paralleli hanno direzioni opposte

    Esempio di due angoli acuti


    Esempio di due angoli ottusi



  • supplementari, se una coppia di lati paralleli va nella stessa direzione e l'altra coppia di lati paralleli va in direzioni opposte

    esempio di un angolo acuto e un angolo ottuso


    esempio di un angolo ottuso e un angolo acuto



Angoli con lati perpendicolari tra di loro



Due angoli i cui lati siano perpendicolari tra di loro sono:


  • supplementari, se il vertice di ciascun angolo è interno all'altro angolo. In questo caso uno dei due angoli è acuto e l'altro è ottuso, oppure sono due angoli retti.


  • congruenti, se il vertice di ciascun angolo è esterno all'altro angolo. In questo caso i due angoli sono acuti se i loro lati si intersecano perpendicolarmente, ottusi se sono i lati di uno dei due angoli intersecano perpendicolarmente il prolungamento dei lati dell'altro angolo.



redattore del materiale didattico: OpenProf.com