Equazioni di 2° Grado, complete e incomplete, intere e fratte fb
 

Altri tipi di equazioni di secondo grado



Abbiamo visto che le equazioni di secondo grado in una sola variabile x, ridotte in forma normale, presentano generalmente la forma standard:






Esistono tuttavia altre forme non standard che possiamo così classificare in base al valore dei coefficienti:



Inoltre, quando un'equazione presenta la variabile x al denominatore di una frazione, abbiamo un altro tipo di equazione non standard, detta equazione frazionaria.


Equazione monomia



L'equazione monomia si presenta nella forma:




con .


E' chiaro che l'unico valore di x che annulla il primo membro è:





Se consideriamo la funzione:




Poiché per , abbiamo visto che l'unica soluzione possibile è:




il grafico della funzione sarà una parabola il cui vertice interseca l'origine degli assi cartesiani, ovvero il punto in cui sia l'ascissa che l'ordinata sono uguali a zero:






Equazione spuria



L'equazione spuria si presenta nella forma:




con .


Per risolvere l'equazione, mettiamo in evidenza il fattore comune ai due monomi, ovvero x:




Perché l'uguaglianza sia valida, deve verificarsi una delle seguenti condizioni, o entrambe:






La seconda condizione è un'equazione di primo grado che avrà come sola radice:




Dunque un'equazione spuria avrà sempre due radici distinte, di cui una è nulla:







Esempio

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Se consideriamo la funzione:




Poiché per , abbiamo due possibili radici, di cui una è uguale a zero, il grafico della funzione sarà una parabola che interseca l'asse delle X in due punti, di cui uno è l'origine degli assi:







Equazione pura



L'equazione pura si presenta nella forma:




con .


Per risolvere l'equazione, portiamo il termine noto al secondo membro e poi dividiamo entrambi i membri per a:




Si tratta ora di trovare quel numero reale che elevato al quadrato dia come risultato .


Possono verificarsi due condizioni:


Forma senza soluzioni




Per non esistono soluzioni reali:




ovvero non esiste alcun numero reale il cui quadrato dia un numero negativo.


Esempio

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Se consideriamo la funzione:




con


il grafico della funzione sarà una parabola che non interseca l'asse delle X:








Forma risolvibile




Per esistono due soluzioni reali distinte:






ovvero esistono due numeri reali, tra loro opposti, che elevati al quadrato danno come risultato


Esempio

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Se consideriamo la funzione:




con


il grafico della funzione sarà una parabola simmetrica rispetto all'asse delle Y e che interseca l'asse delle X in due punti con ascisse opposte, ovvero con :






Equazioni frazionarie



Le equazioni frazionarie sono equazioni che presentano l'incognita x anche al denominatore di frazioni algebriche. Ovviamente, in tal caso, prima di risolvere l'equazione bisogna prima escludere tutti i valori della x che annullerebbero i denominatori.


Esempio

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Le equazioni frazionarie si risolvono come le equazioni intere se moltiplichiamo prima entrambi i membri dell'uguaglianza per un multiplo comune dei denominatori.


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Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese